Grenzwert der Funktion sin^3(2x)/(x*sin^2(x))

Question

gesucht ist der Grenzwert der Funktion sin^3(2x)/(x*sin^2(x)), wenn x gegen Null geht.

Wer hat Lust mir den ausfühlichen Rechenweg zu zeigen?

LG

Jupp

Answer 1

verwende die Doppelwinkelformel:

$$ sin(2x)=2sin(x)cos(x) $$

ergibt dann bei dir

$$ \frac { sin^3(2x) }{ xsin^2(x) }= \frac { 8sin^3(x)cos^3(x) }{ xsin^2(x) }\\=\frac { 8sin(x)cos^3(x) }{ x } $$

im Grenzwert gegen 0 ergibt sich dann als Ergebnis 8,

da $$ \lim_{x\to 0 }\frac { sin(x) }{ x }=1 $$

Answer 2

sin³(2x)=(2·sin(x)·cos(x))³=8sin³(x)cos³(x)

sin³(2x)/(x*sin²(x))) = 8sin(x)cos³(x)/x

sin(x)/x hat für x gegen 0 den Grenzwert 1. cos(0)=1-

Also ist der Grenzwert 8·1·1³=8