Differenzierbarkeit (Kettenregel) im Rn

Question

Gegeben seien $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}, g_{1}: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{n_{1}}$ und $g_{2}: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{n_{2}}$ mit $n_{1}+n_{2}=n$. Wir schreiben $f(y)=f\left(y_{1}, y_{2}\right)$ für $y_{j} \in \mathbb{R}^{n_{j}}, j=1,2$, und $y=\left(y_{1}, y_{2}\right)^{\top}$. Die Funktionen $g_{1}, g_{2}$ seien in $a \in \mathbb{R}^{k}$ differenzierbar, und $f$ sei in $b=\left(g_{1}(a), g_{2}(a)\right)^{\top}$ differenzierbar mit $D f(b)=\left[A_{1}, A_{2}\right], A_{j} \in \mathbb{R}^{m \times n_{j}}$.
(a) Zeigen Sie auf zwei Arten, dass $h: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$, definiert durch $h(x)=f\left(g_{1}(x), g_{2}(x)\right)$ in $x=a$ differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung. Benutzen Sie einerseits direkt die Definition der Ableitung und andererseits die Kettenregel.
(b) Es seien $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ und $g, h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ stetig differenzierbar. Bestimmen Sie die Ableitung
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int \limits_{g(x)}^{h(x)} f(t, x) \mathrm{d} t .$