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a)

Beweise Den Satz Des Pythagoras ( in einem rechtwinkligen Dreieck gilt a^2+b^2= c^2, indem du die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks durch die Vektoren a,b und c darstellen..

B) Beweise ebenfalls vektoriell die Umkehrung des Satzes; gilt in einem Dreieck a^2+b^2=c^2, dann liegt zwischen den Seiten a und b ein rechter Winkel.

Danke im Voraus

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Hallo IA,

im Bild ist geometrisch die Summe zweier Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\)  dargestellt:

Bild Mathematik

Im Bild gilt (unabhängig von der Größe von Winkel w)

\(\vec{c}\) = \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)     (1)

Für jeden Vektor \(\vec{x}\) gilt  |\(\vec{x}\)|2 = \(\vec{x}\)2   (2)  

Für zwei Vektoren gilt:    \(\vec{x}\) ⊥ \(\vec{y}\)  ⇔  \(\vec{x}\) * \(\vec{y}\)  = 0      (3)

Die Länge einer Seite ist jeweils der Betrag des Vektors.

a)   Satz von Pythagoras

Voraussetzung:   w = 90°   (Dreieck ist rechtwinklig)

Behauptung:   |\(\vec{c}\)|2 = |\(\vec{a}\)|2 + |\(\vec{b}\)|2  

Beweis:  Es gilt

 |\(\vec{c}\)|2  =(2)   \(\vec{c}\)2  =(1)  ( \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) )2 =  \(\vec{a}\)2 + 2* \(\vec{a}\) * \(\vec{b}\) + \(\vec{b}\)2   (1. binomische Formel)

                     =(3)   \(\vec{a}\)2 +  0  \(\vec{b}\)2 =(2)  |\(\vec{a}\)|2 + |\(\vec{b}\)|2  

b)  Kehrsatz

Voraussetzung:    |\(\vec{c}\)|2 = |\(\vec{a}\)|2 + |\(\vec{b}\)|2  

Behauptung:  w = 90°   (Dreieck ist rechtwinklig)

Beweis:  Es gilt

 |\(\vec{c}\)|2 =(2)  \(\vec{c}\)2  =(1)  ( \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) )2 =  \(\vec{a}\)2 + 2* \(\vec{a}\) * \(\vec{b}\) + \(\vec{b}\)2 =(2)  |\(\vec{a}\)|2 + 2* \(\vec{a}\) * \(\vec{b}\) + |\(\vec{b}\)|2 

 Nach Voraussetzung gilt aber  |\(\vec{c}\)|2 = |\(\vec{a}\)|2 + |\(\vec{b}\)|2  

→  \(\vec{a}\) * \(\vec{b}\)  = 0   (3)   w = 90°   

Gruß Wolfgang

von 82 k

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