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. Ich habe schwiriegkeiten meine Ideen zu folgender Aufgabe formal korrekt aufzuschreiben.

Sei K ein Körper, A \( \in K^{nxn} \) eine Matrix. Welche der folgenden Aussagen sind richtig. Begründen oder Gegenbeispiel

a) Wenn \( A^{2} \) nilpotent ist, ist A auch nilpotent

b) Wenn A nilpotent ist, ist auch \( A^{T} \) nilpotent

c) Wenn ker A = im A gilt, ist A nilpotent

Meine Ideen:

a)\( A^{2}=A*A \) nilpotent \( \Rightarrow (A*A)^{k}=0 \Rightarrow A^{2k}=0 \Rightarrow A \) ist nilpotent

b) \( A \) und \( A^{T} \) haben die gleiche Spur und Determinante beider Matrizen ist = 0 und somit haben beide als einzigen Eigenwert die 0 und so müsste auch das Transponierte einer nilpotenten Matrix auch nilpotent sein.

c) ker A = {v| A*v = 0}, im A = lineare hülle aus Spaltenvektoren von A in zeilen-stufen Form, bzw. im A = {Ax | x \( \mathbb{R} \) } Wie ich hier weiterkomme, weiss ich gerade nicht.


Reichen die Lösungen zu a) und b) oder doch noch zu ungenau und was übersehe ich denn bei c)?

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bei a denke ich, dass die Behauptung richtig ist wegen der Definition A^k = 0

Vielen Dank für jeden Tipp!!!

a)

A^2 ist nilpotent heisst es gibt ein n so dass 

(A^2)^n = O 

Da (A^2)^n = A^{2n} gibt es auch ein k = 2n , so dass A^k = O .

Soweit meine Begründung für a) 


b) Die Begründung in der ursprünglichen Frage von methamphetamine  ist meiner Erachtens einleuchtend. 

c) 

Für welche Matrix ist denn überhaupt ker(A) = im(A) ? 

Wenn für keine, ist c) auch richtig, weil es gar keine solche Matrix A gibt aus der etwas folgen könnte. 

(?) 

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