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. Ich habe schwiriegkeiten meine Ideen zu folgender Aufgabe formal korrekt aufzuschreiben.

Sei K ein Körper, A \( \in K^{nxn} \) eine Matrix. Welche der folgenden Aussagen sind richtig. Begründen oder Gegenbeispiel

a) Wenn \( A^{2} \) nilpotent ist, ist A auch nilpotent

b) Wenn A nilpotent ist, ist auch \( A^{T} \) nilpotent

c) Wenn ker A = im A gilt, ist A nilpotent

Meine Ideen:

a)\( A^{2}=A*A \) nilpotent \( \Rightarrow (A*A)^{k}=0 \Rightarrow A^{2k}=0 \Rightarrow A \) ist nilpotent

b) \( A \) und \( A^{T} \) haben die gleiche Spur und Determinante beider Matrizen ist = 0 und somit haben beide als einzigen Eigenwert die 0 und so müsste auch das Transponierte einer nilpotenten Matrix auch nilpotent sein.

c) ker A = {v| A*v = 0}, im A = lineare hülle aus Spaltenvektoren von A in zeilen-stufen Form, bzw. im A = {Ax | x \( \mathbb{R} \) } Wie ich hier weiterkomme, weiss ich gerade nicht.


Reichen die Lösungen zu a) und b) oder doch noch zu ungenau und was übersehe ich denn bei c)?

von

Bild Mathematik

bei a denke ich, dass die Behauptung richtig ist wegen der Definition A^k = 0

Vielen Dank für jeden Tipp!!!

a)

A^2 ist nilpotent heisst es gibt ein n so dass

(A^2)^n = O

Da (A^2)^n = A^{2n} gibt es auch ein k = 2n , so dass A^k = O .

Soweit meine Begründung für a)


b) Die Begründung in der ursprünglichen Frage von methamphetamine  ist meiner Erachtens einleuchtend.

c)

Für welche Matrix ist denn überhaupt ker(A) = im(A) ?

Wenn für keine, ist c) auch richtig, weil es gar keine solche Matrix A gibt aus der etwas folgen könnte.

(?)

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