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Sei die Matrix A:

      0 1 0

A = 0 0 0

      1 0 1


Für n >= 2 besteht A^n aus drei gleichen Vektoren v1, v2, v3 = (0 0 1)^t

Wie kann man damit zeigen, dass es keinen Nilpotenzgrad gibt, die Matrix also nicht nilpotent ist?

Avatar von

Man hat den Eindruck, Du weisst gar nicht, was es bedeutet: eine Matrix ist (nicht) nilpotent. Sonst wuerdest Du nicht die Lösung zur Aufgabe hinschreiben und dann noch fragen, wie die Lösung denn nun geht.

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NC,

zum Anfang solltest Du Dir klar machen, was eine nilpotente Matrix ist:


Wir beginnen unsere Überlegungen damit zu prüfen, was passiert, wenn wir A mit sich selbst multiplizieren.

Bild Mathematik

Wir sehen also, dass jede weitere Multiplikation von A wieder A als Ergebnis hat.

Egal wie oft wir A mit sich selbst multiplizieren: es wird niemals die Nullmatrix herauskommen! Mathematisch:

$$\not\exists n\in\mathbb{N}:A^n=N\text{ mit }N=0\in\mathbb{R}^{3\times3}$$

Daraus folgt direkt: A ist nicht nilpotent.

André

Avatar von
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Hallo NC,

A2 = A      (nachrechnen!)

  →   mit jeder weiteren Multiplikation mit A ergibt sich A

→   An = A   ≠ Nullmatrix  für alle n∈ℕ

 A ist nicht nilpotent

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

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