Hallo MathFox,
Zur 1. Teilaufgabe
Der Flächeninhalt einer Dichtefunktion ist \(1\), also \(100\%\). Für den Flächeninhalt Deiner beschriebenen Funktion gilt: $$A=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot t+t=\dfrac{3}{2}\cdot t=1\Longrightarrow t=\dfrac{2}{3}$$
Zur 2. Teilaufgabe
Die Formel für den Erwartungswert einer Zufallsvariable \(X\) mit der Dichte \(f\) lautet: $$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}{x\cdot f(x)}dx$$ In unserem Fall gilt $$E(X)=\int_{0}^{1}{x\cdot \dfrac{2}{3}\cdot x}dx+\int_{1}^{2}{x\cdot\dfrac{2}{3}}dx=\int_{0}^{1}{\dfrac{2}{3}x^2}dx+\int_{1}^{2}{\dfrac{2}{3}x}dx\\=\left[\dfrac{2}{9}x^3\right]_{0}^{1}+\left[\dfrac{1}{3}x^2\right]_{1}^{2}=\dfrac{2}{9}-0+\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}\approx1.22$$
Zur 3. Teilaufgabe
Für diese Teilaufgabe verwendest Du am besten den Ansatz $$Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2$$ Den Wert für \(E(X)\) haben wir in Teilaufgabe 2 bereits berechnet. Gesucht ist also nur noch \(E(X^2)\), das sich durch $$\int_{-\infty}^{\infty}{x^2\cdot f(x)}dx$$ bestimmen lässt.
Gruß
André
