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Wir betrachten die folgenden Prädikate wahlweise im Bereich der natürlichen Zahlen ℕ, der ganzen Zahlen ℤ oder der rationalen Zahlen ℚ :

P(x, y, z) = " x + y = z " und Q(x, y, z) = " x • y = z "

Bestimmen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen und begründen Sie Ihre Antwort wie im folgenden Beispiel: ∀x ∈ ℤ ∀z ∈ ℤ ∃y ∈ ℤ  P(x, y, z)  ist wahr.

Begründung: Seien x = a und z = b beliebige ganze Zahlen, dann wählen wir y = b - a ∈ ℤ und erhalten mit Pa,b -  a,b) wegen a + (b - a) = b eine wahre Aussage. Bei falschen Aussagen muss man begründen, dass deren Negation eine
wahre Aussage ist.

Die Aussagen:

a) ∃z ∈ ℤ  ∃x ∈ ℤ  ∀y ∈ ℤ  ¬P(x, 2y, z)
b) ∀x ∈ ℤ  ∀z ∈ ℤ  ∃y ∈ ℤ  P(4x, 2y, 2z)
c) ∀x ∈ ℚ  ∀z ∈ ℚ  ∃y ∈ ℚ  Q(x, y, z)
d) ∀x ∈ ℕ  ∀z ∈ ℕ  ∃y ∈ ℕ  P(x, y, z)
e) ∀x ∈ ℕ  ∀z ∈ ℕ  ∃y ∈ ℕ  (x ≥ z ∨ P⟨x, y, z⟩)
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a) Die Aussage bedeutet: es existieren ganze Zahlen x, y, z, sodass x+2y≠z gilt. Das ist wahr, sind x und y beliebige Zahlen a und b, dann kann z beliebig aus ℤ\{a+2b} gewählt werden.

b) Die Aussage bedeutet: für alle ganzen Zahlen x und z existiert mindestens eine ganze Zahl y, sodass 4x+2y = 2z gilt. Das ist wahr, denn sei x=a und z=b beliebige ganze Zahlen, dann wählt man y = b-2a und erhält eine wahre Aussage. Wichtig ist dabei, dass ℤ auch die negativen ganzen Zahlen enthält.

c) Die Aussage bedeutet: Für alle rationalen Zahlen x und z existiert mindestens eine rationale Zahl y, sodass x*y=z gilt. Die Aussage ist wahr, seien x=a, z=b beliebige rationale Zahlen, dann wählt man y = b/a, was immer noch eine rationale Zahl ist und die Gleichung ist erfüllt.

d) Die Aussage bedeutet: Für alle natürlichen Zahlen x und z existiert mindestens eine natürliche Zahl y, sodass x+y=z gilt.
Diese Aussage ist falsch! Falls z<x ist, dann gibt es keine solche natürliche Zahl. Laut Aufgabenstellung müssen wir die Aussage negieren und die Wahrheit der Negation zeigen:

¬∀x ∈ ℕ  ∀z ∈ ℕ  ∃y ∈ ℕ  P(x, y, z)

⇔ ∃x ∈ ℕ  ¬∀z ∈ ℕ  ∃y ∈ ℕ  P(x, y, z)

⇔ ∃x ∈ ℕ  ∃z ∈ ℕ  ¬∃y ∈ ℕ  P(x, y, z)

⇔ ∃x ∈ ℕ  ∃z ∈ ℕ  ∀y ∈ ℕ  ¬P(x, y, z)

Das bedeutet: Es existiert mindestens ein Paar natürlicher Zahlen (x, z) sodass für alle natürlichen Zahlen y gilt: x+y≠z

Wählt man zum Beispiel x = 2 und z = 1, dann müsste gelten:

2 + y = 1  |-2

y = -1

Das ist aber keine natürliche Zahl!

 

e) Die Aussage bedeutet: Für alle natürlichen Zahlen x und z existiert mindestens eine natürliche Zahl y, sodass x größer als z ist oder die Aussage x+y=z gilt.

Tatsächlich sind jetzt genau die Fälle dazugekommen, die wir in d) ausgeschlossen haben, diese Aussage ist wahr.

Sind nämlich x=a und z=b beliebig, dann muss damit P(x, y, z) gilt y=b-a gelten. Das ist genau dann eine natürliche Zahl, wenn b>a, sonst ist aber die erste Bedingung schon erfüllt. Also wahr.
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