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Formulieren Sie folgende Aussagen in der Sprache der Logik unter Verwendung der logi- schen Quantoren und :

  1. Zu jeder beliebigen natu ̈ rlichen Zahl la ̈ sst sich immer eine gro ̈ ßere Zahl finden, die durch 3 teilbar ist.

  2. Das Quadrat jeder beliebigen reellen Zahl ist gro ̈ßer gleich Null.

  3. Zwischen je zwei reellen Zahlen liegt eine dritte.

  4. Es existieren natu ̈rliche Zahlen, die sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar sind. 

Gefragt von Gast

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Beste Antwort

Hallo BJ,

    1.  Zu jeder beliebigen natürlichen Zahl lässt sich immer eine größere Zahl finden, die                durch 3 teilbar ist.

                   ∀x :  ( x ∈ ℕ  →  ∃y : ( y ∈ ℝ  ∧ y > x  ∧  3 | y ) )  

    2. Das Quadrat jeder beliebigen reellen Zahl ist größer gleich Null.

                  ∀x : ( x ∈ ℝ   →  x2 ≥ 0 )

    3.  Zwischen je zwei reellen Zahlen liegt eine dritte.

                  ∀x ∀y : ( x∈ℝ ∧ y∈ℝ)  →   ∃z : ( x < z < y   ∨   y < z < x )

     4.   Es existieren natürliche Zahlen, die sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar sind.

                  ∃x∃y :  (  ( x∈ℕ ∧ y∈ℕ ∧ 2 | x ∧ 3 | x ∧ 2 | y ∧ 3 | y ) 

Eventuell dürft ihr auch   ∀x,y  ;  ∃x,y ;   ∀x∈ℕ ;  x,y ∈ ℝ  schreiben und/oder müsst den Doppelpunkt nach den Quantoren weglassen:  

              z.B.    3.   ∀x,y ∈ ℝ    ∃z ( x < z < y   ∨   y < z < x )

Gruß Wolfgang  

Beantwortet von 64 k

Hallo Wolfgang

1.
Hier fehlt ein Teil der Aussage, nämlich: "...lässt sich immer eine größere Zahl finden..." (Man kann hier ruhig in ℕ bleiben.)

Beste Grüße

 > Hier fehlt ein Teil der Aussage,

Das simmt, danke für den Hinweis. Werde es korrigieren

Man kann hier ruhig in ℕ bleiben. 

Das sehe ich nicht so, denn man soll die Aussage übersetzen und nicht durch mathematische Überlegungen abändern.

Die Übersetzung von "größere" ist >
Eine Übersetzung von "Zu jeder beliebigen natürlichen Zahl lässt sich immer eine größere Zahl finden, die durch 3 teilbar ist." wäre: ∀n∈ℕ: (∃k∈ℕ: k > n ∧ 3|k).

Nein! In der Aussage steht nicht, dass sich eine größere natürliche Zahl finden lässt. 

Und mathematische Überlegungen, dass die Zahl natürlich nur aus ℕ sein kann, finden bei einer solchen Übersetzung keine Anwendung.

Gibt es den Begriff der Teilbarkeit überhaupt  für nicht ganze Zahlen?

Wie ist a|b definiert?

Nein, aber ℕ ⊂ ℝ   und eine zu  übersetzende Aussage könnte durchaus auch falsch sein.

Und mathematische Überlegungen, dass die Zahl natürlich nur aus ℕ sein kann, finden bei einer solchen Übersetzung keine Anwendung.

Ich habe geschrieben: "(Man kann hier ruhig in ℕ bleiben.) ". Dass die Zahl nur aus ℕ sein kann steht wo?  Nirgends, hab' ich nicht behauptet.

Übrigens steht da auch nirgends, dass die Zahl aus ℝ sein soll.

>  Übrigens steht da auch nirgends, dass die Zahl aus ℝ sein soll.  

Eine Zahlenmenge in der > definiert ist,  muss es ja schon sein, kennst du eine umfassendere als ℝ ?  

Und im Übrigen habe ich keinerlei Lust, schon wieder über "hab' ich nicht behauptet."  zu diskutieren.

Eine Zahlenmenge in der > definiert ist,  muss es ja schon sein

> ist auf ℕ definiert.

kennst du eine umfassendere als ℝ ?

Diese Betrachtungsweise wird in der Aufgabe nicht gefordert.

Im Moment gehst du mir einfach nur auf den Geist!

Was verstehst du an dem Wort "übersetzen"  nicht? (rethorische Frage)

Keine weiteren Kommentare von mir, aber lass dich ruhig weiter aus :-)

Danke für das hochqualifizierte Statement! Damit ist für mich an dieser Stelle EOD.

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