Teilbar duch 3. Wie kann man hier die Logik anwenden? Quantoren

Question

Formulieren Sie folgende Aussagen in der Sprache der Logik unter Verwendung der logi- schen Quantoren ∀ und ∃:

1. Zu jeder beliebigen natü rlichen Zahl lä sst sich immer eine grö ßere Zahl finden, die durch 3 teilbar ist.

2. Das Quadrat jeder beliebigen reellen Zahl ist größer gleich Null.

3. Zwischen je zwei reellen Zahlen liegt eine dritte.

4. Es existieren natürliche Zahlen, die sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar sind. 

Answer 1

Hallo BJ,

    1.  Zu jeder beliebigen natürlichen Zahl lässt sich immer eine größere Zahl finden, die                durch 3 teilbar ist.

                   ∀x :  ( x ∈ ℕ  →  ∃y : ( y ∈ ℝ  ∧ y > x  ∧  3 | y ) )

    2. Das Quadrat jeder beliebigen reellen Zahl ist größer gleich Null.

                  ∀x : ( x ∈ ℝ   →  x2 ≥ 0 )

    3.  Zwischen je zwei reellen Zahlen liegt eine dritte.

                  ∀x ∀y : ( x∈ℝ ∧ y∈ℝ)  →   ∃z : ( x < z < y   ∨   y < z < x )

     4.   Es existieren natürliche Zahlen, die sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar sind.

                  ∃x∃y :  (  ( x∈ℕ ∧ y∈ℕ ∧ 2 | x ∧ 3 | x ∧ 2 | y ∧ 3 | y )

Eventuell dürft ihr auch   ∀x,y  ;  ∃x,y ;   ∀x∈ℕ ;  x,y ∈ ℝ  schreiben und/oder müsst den Doppelpunkt nach den Quantoren weglassen:  

              z.B.    3.   ∀x,y ∈ ℝ    ∃z ( x < z < y   ∨   y < z < x )

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang

1.
Hier fehlt ein Teil der Aussage, nämlich: "...lässt sich immer eine größere Zahl finden..." (Man kann hier ruhig in ℕ bleiben.)

Beste Grüße

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 > Hier fehlt ein Teil der Aussage,

Das simmt, danke für den Hinweis. Werde es korrigieren

> Man kann hier ruhig in ℕ bleiben. 

Das sehe ich nicht so, denn man soll die Aussage übersetzen und nicht durch mathematische Überlegungen abändern.

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Die Übersetzung von "größere" ist >
Eine Übersetzung von "Zu jeder beliebigen natürlichen Zahl lässt sich immer eine größere Zahl finden, die durch 3 teilbar ist." wäre: ∀n∈ℕ: (∃k∈ℕ: k > n ∧ 3|k).

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Nein! In der Aussage steht nicht, dass sich eine größere natürliche Zahl finden lässt.

Und mathematische Überlegungen, dass die Zahl natürlich nur aus ℕ sein kann, finden bei einer solchen Übersetzung keine Anwendung.

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Gibt es den Begriff der Teilbarkeit überhaupt  für nicht ganze Zahlen?

Wie ist a|b definiert?

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Nein, aber ℕ ⊂ ℝ   und eine zu  übersetzende Aussage könnte durchaus auch falsch sein.

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Und mathematische Überlegungen, dass die Zahl natürlich nur aus ℕ sein kann, finden bei einer solchen Übersetzung keine Anwendung.

Ich habe geschrieben: "(Man kann hier ruhig in ℕ bleiben.) ". Dass die Zahl nur aus ℕ sein kann steht wo?  Nirgends, hab' ich nicht behauptet.

Übrigens steht da auch nirgends, dass die Zahl aus ℝ sein soll.

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>  Übrigens steht da auch nirgends, dass die Zahl aus ℝ sein soll.  

Eine Zahlenmenge in der > definiert ist,  muss es ja schon sein, kennst du eine umfassendere als ℝ ?

Und im Übrigen habe ich keinerlei Lust, schon wieder über "hab' ich nicht behauptet."  zu diskutieren.

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Eine Zahlenmenge in der > definiert ist,  muss es ja schon sein

> ist auf ℕ definiert.

kennst du eine umfassendere als ℝ ?

Diese Betrachtungsweise wird in der Aufgabe nicht gefordert.

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Im Moment gehst du mir einfach nur auf den Geist!

Was verstehst du an dem Wort "übersetzen"  nicht? (rethorische Frage)

Keine weiteren Kommentare von mir, aber lass dich ruhig weiter aus :-)

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Danke für das hochqualifizierte Statement! Damit ist für mich an dieser Stelle EOD.