Die Extremwerte der Funktion f ermitteln

Question

ich soll die Extremwerte der Funktion f ermitteln. Ich habe zunächst die Funktion abgeleitet und die Nullstellen berechnet

f(x) = x⁴ - 6x² + 1

f'(x) = 4x³ - 12x

f''(x) = 12x² - 12

x₁ = 0 ; x₂ = Wurzel 3 ; x₃ = -Wurzel 3

Jetzt würde ich die x-Werte in die zweite Ableitung einsetzen und dann bestimmen, ob es ein Tief- oder Hochpunkt ist. Solange f'(xo) = 0 und f''(x0) = 0 nicht gleich null sind, kann ich ja das zweite hinreichende Kriterium benutzen. Das ist ja gegeben: f''(0) = 12 x 0² -12 = -12. Ich verstehe aber nicht den Ansatz von der Lösung. Dort wird erstmal f'(x) = 4x³ - 12x ausgeklammert und dann wird der VZW benutzt - aber warum?

 

Answer 1

Da hat einfach jemand Spaß am Vorzeichenwechsel-kriterium. Du kannst genau so gut die zweite Ableitung als hinreichendes kriterium verwenden, solange nicht null raus kommt.

Comments

Ah okay, kannst du mir bitte noch erklären warum man hier f'(x) ausgeklammert hat?

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Naja zum einen setzt man die erste Ableitung ja null und durch die produktschreibweise (nach dem ausklammern hat man da ein Produkt stehen) kann man den Satz vom nullprodukt anwenden um die Nullstellen zu bestimmen. Zum anderen scheint es so zu sein, dass man mit der produktschreibweise leichter herausfinden kann ob ein Vorzeichenwechsel vorliegt, indem man die beiden Faktoren einzeln bezüglich ihres vorzeichens betrachtet.