Substitution integral rationale funktion

Question

Hey:)

Könnt ihr mir mal helfen, weil ich hab schon etliche Substitutionen wie u=e^x ausprobiert und ich komm trotzdem nicht weiter...

Würde mich über Hilfe freuen:)

Answer 1

Es wird etwas länger aber ich hoffe, dass dir das dennoch hilft:

Idee 1: Substitution

$$ \int { \frac { 1 }{ 2{ e }^{ x }+3 } dx=> } \int { \frac { 1 }{ 2u+3 }  } \frac { du }{ u } =>\int { \frac { 1 }{ (u)(2u+3) } du }  $$

Idee 2: Partialbruchzerlegung

$$ \frac { 1 }{ (u)(2u+3) } =>\frac { A }{ u } +\frac { B }{ 2u+3 } =>\frac { (2A+B)u+3A }{ (u)(2u+3) }  $$

Daraus ergibt sich ein LGS

$$ \begin{pmatrix} 2A & B \\ 3A & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\quad A=\frac { 1 }{ 3 } ,\quad B=-\frac { 2 }{ 3 }  $$

$$ \int { \left( \frac { 1 }{ 3u } -\frac { 2 }{ 3(2u+3) }  \right)  } du $$

$$ \frac { 1 }{ 3 } \int { \left( \frac { 1 }{ u }  \right)  } du\quad -\frac { 2 }{ 3 } \int { \left( \frac { 1 }{ 2u+3 }  \right)  } du $$

das ist ein Standardintegral und es ist auch angenehm lösbar!

Answer 2

Hallo Sonnenblume,

Dieser Online-Rechner  (auch für spätere Fälle und zum Üben :-) )  gibt dir auch Lösungswege an:

http://www.integralrechner.de/#expr=1%2F%282e%5Ex%2B3%29

Ich habe es probiert und deine Funktion schon eingegeben. Wenn du auf  LOS!  und         - nachdem er die Lösung berechnet hat - dann auf  RECHENWEG ANZEIGEN  klickst, kannst du mehrere Substitutionen ( auch u = e^x)  ausprobieren.

Bei der genannten erhältst du - nach dem Zwischenergebnis -  sowohl den Hinweis auf die mögliche Partialbruchzerlegung als auch eine Möglichkeit mit einer zweiten Substitution.

Gruß Wolfgang

Answer 3

^{die Substitution u=e^x ist richtig.}

^{Du kommst dann auf}

^{∫ (du)/(u(2u+3))}

^{was Du mit Partialbruchzerlegung lösen kannst.}

Comments

natürlich; sicher doch.

Grüße,

M.B.

Answer 4

wie schön, dass es Programme gibt, die uns helfen, noch weiter zu verblöden.

Benutze Dein Gehirn !!

$$ {1 \over 2e^x+3} = {1\over3}\cdot{3+2e^x-2e^x \over 2e^x+3} = {1\over3} \left(1-{2e^x \over 2e^x+3} \right)  $$

$$ \int \dots = {1\over3} \left( x-\ln|2e^x+3| \right) $$

Grüße,

M.B.