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Hallo könnte mir jemand folgende Aufgabe vorrechnen danke

Aufgabe G 1
Die Menge \( U:=\operatorname{span}\left\{\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-2} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{2} \\ {3} \\ {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{3} \\ {8} \\ {-1}\end{array}\right)\right\} \) ist ein Unterraum des \( \mathbb{R}^{3} \)


a) Geben Sie eine Basis von \( U \) an.
b) Bestimmen Sie die Dimension von \( U \)
c) Vervollständigen Sie ggf. die Basis von U aus Teil a) zu einer Basis des \( \mathrm{R}^{3} \).

 

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Tipp: \(\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\8\\-1\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}\).

1 Antwort

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Der Tipp zeigt:

Der 2. erzeugende Vektor lässt sich durch die anderen

beiden darstellen.

Diese beiden sind aber lin. unabh. bilden also

eine Basis von U

Also dim = 2

Und wenn du statt des zweiten

0
1
0

nimmst, bilden diese drei eine Basis von R3.

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Aber von wo weiß man, dass man genau (0,1,0)T  nehmen muss? Wenn man den obrigen Tipp nicht sofort sieht, wie kann ich das sonst zeigen?

Du kannst auch (per Gaußalgorithmus) prüfen, ob \( \lambda = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \) die einzige Lösung von \( A \cdot \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \) ist, mit \( A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ -2 & 3 & 8\\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix} \).
Wenn ja, sind die drei Vektoren eine Basis von U und IR3. Wenn nicht, ist Rg(A) < 3 z.B. Rg(A) = 2, dann ist dim(U) = 2 und Du musst zwei linear Unabhängige Vektoren aus U finden. Die sind dann eine Basis von U, die Du um einen Vektor zur Basis von  IR3 ergänzen kannst.

Du kannst auch einen anderen, etwa  (1,0,0)T  nehmen .

Es geht ja nur darum, dass er mit den anderen beiden linear

unabhängig ist.

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