Für welche alpha konvergiert das Integral?

Question

Hey:)

könnt ihr mir bei der Aufgabe helfen?

Ich hab dazu folgendes:

lim a-> unendlich Integral von 0 bis a e^-x^α

Dann lim a-> unendlich [-e^-x^α] a_0 =lim a-> unendlich -e^-a^α +1 =1 für alle a

Comments

Passt des so?:)

Answer 1

Hi,

für $\alpha > 0$ folgt mit der Transformation $t = x^\alpha$ das gilt $\frac{dt}{dx} = \alpha x^{\alpha -1}$ und daraus folgt

$dx = \frac{1}{\alpha} t^{ \frac{1}{\alpha}-1 } dt$ damit wird $$\int_0^\infty e^{ -x^\alpha } dx = \frac{1}{\alpha} \Gamma\left( \frac{1}{\alpha} \right)$$ wobei $\Gamma()$ die Gammafunktion ist.

Für $\alpha < 0$ ist die Funktion $e^{ -x^\alpha }$ streng monoton wachsend und damit das Integral divergent.