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Aufgabe:

Ermittlen Sie, für welche \( \alpha \) das Integral
$$ \int \limits_{0}^{\infty}\left(\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{\alpha}{2 x+3}\right) d x $$
konvergiert und berechnen Sie den Wert des Integrals für diese \( \alpha \) s.

von

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Beitrag gelöscht , weil nicht mehr gebraucht wird.(auch von Clemens nicht mehr)

Wir warten auf Spacko seinen tollen Auftritt.

kannst du nochmal den letzten schritt erklären, wo man "relativ schnell erkennen sollte, dass alpha=2 ist"

@Grosserloewe

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Das ist eine wahrlich großartige Methode.

um Deine Meinung hat Dich niemand gebeten.

Schreibe einen eigenen Beitrag, falls Du das kannst.

Das kannst du getrost mir überlassen.

leider könnte ich deine Antwort nicht mehr als beste Antwort wählen, wenn du es tatsächlich lösen solltest @spacko

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3 Antworten

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Beste Antwort

$$\int_{0}^{\infty} \dfrac{x}{x^2+1} - \dfrac{\alpha}{2x+3} \text{ d}x \\[16pt] = \lim\limits_{b\to\infty} \biggl[\dfrac{1}{2}\cdot\ln\left(x^2+1\right)-\dfrac{\alpha}{2}\cdot\ln\left(x+\dfrac 32\right)\biggr]_0^b \\[16pt] = \dfrac{1}{2}\cdot\lim\limits_{b\to\infty} \biggl[\ln\left(x^2+1\right)-\ln\left(x+\dfrac 32\right)^{\alpha}\biggr]_0^b \\[16pt] = \dfrac{1}{2}\cdot\lim\limits_{b\to\infty} \biggl[\ln\dfrac{x^2+1}{\left(x+3/2\right)^{\alpha}}\biggr]_0^b \\[16pt] = \dfrac{1}{2}\cdot\lim\limits_{b\to\infty} \left(\ln\dfrac{b^2+1}{\left(b+3/2\right)^{\alpha}}-\ln\dfrac{1}{(3/2)^{\alpha}}\right) \\[16pt] = \dfrac{1}{2}\cdot\lim\limits_{b\to\infty} \left(\ln\dfrac{\left(b^2+1\right)\cdot (3/2)^{\alpha}}{\left(b+3/2\right)^{\alpha}}\right) \\[16pt] = \dfrac{1}{2}\cdot \ln\left(\lim\limits_{b\to\infty}\dfrac{\left(b^2+1\right)\cdot (3/2)^{\alpha}}{\left(b+3/2\right)^{\alpha}}\right) \\[16pt] $$ Spätestens jetzt sieht man, dass die für die Existenz des Limes erforderliche Gleichgradigkeit von Zähler- und Nennerpolynom nur erreicht werden kann, wenn \(\alpha=2\) gilt. Damit folgt dann sofort $$= \dfrac{1}{2}\cdot \ln\left((3/2)^{2}\right) \\[16pt] =\ln\left(3/2\right). $$

von 24 k
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vielleicht kann man das ja so machen, wie man bei α=1 den Wert berechnet, weiß ich leider nicht. Trotzdem hoffe ich dass ich dir weiterhelfen konnte.


Schönen Abend noch!

MfG Simon

antwort 1.0.PNG

von
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Hallo

die 2 Teilintegrale haben beide, bis auf eine Konstante die Form f'/f und  ∫f'(x)/f(x)=ln(f(x))

also integrieren, dann a*lnb-c*lnd=ln(b^a/d^c)

und davon dann den GW für x->oo

lul

von 93 k 🚀

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