Lineares Gleichungssystem lösen und geometrisch deuten.

Question

Ermitteln Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems und deuten Sie diese Menge geometrisch.

2x1 + 4x2 = 2

3x1 + 6x2 = 3

5x1 + 10x2 = 5

Ich verstehe einfach nicht wie man auf  die Lösung  kommt.

Answer 1

wenn du die Gleichungen jeweils durch den Vorfaktor bei x₁  dividierst, erhältst du bei allen Gleichungen  1*x₁ + 2*x₂ = 1  und deshalb ist diese gesamte Gerade auch die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

Diese Gerade hat den Normalenvektor  [ 1 , 2 ]

und deshalb den Richtungsvektor  [ - 2 , 1 ]  senkrecht dazu   (Skalarprodukt = 0)

Mit  x₂ = 0  erhält man x₁ = 1  und damit den Punkt  P(1|0) auf der Geraden.

Daraus ergibt sich die Parametergleichung  \(\vec{x}\) = \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) + λ * \(\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) 

Das ist die in der Lösung angegebene Punktmenge.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Alle drei Gleichunge beschreiben dieselbe Gerade. Und (x₁;x₂)=(1;0)+λ(-2;1) beschreibt dieselbe Gerade vektoriell.

Answer 3

Da musst du gar nichts rechen :) Man sieht, dass die drei Gleichungen nicht unabhängig sind voneinander, denn die zweite ist 3/2 der ersten und die dritte ist 5/3 der zweiten bzw. 5/2 der ersten Gleichung.

D.h. die drei Geraden sind identisch, und die Lösungsmenge des Gleichungssystems (Schnittpunkte der drei Geraden) ist eben die Gerade selber, die hier mit drei verschiedenen Gleichungen (und in der Lösung mit einer vierten Gleichung in Vektorschreibweise) beschrieben wird.

Answer 4

2x1 + 4x2 = 2    (I)  :2

3x1 + 6x2 = 3   (II) :3

5x1 + 10x2 = 5  (III) :5

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x1 + 2x2 = 1       (I)'

x1 + 2x2 = 1      (II)'

x1 + 2x2 = 1      (III)'

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Alle Gleichungen enthalten die selbe Information. D.h. sie beschreiben dieselbe Punktmenge, geometrisch: dieselbe Gerade. Ersetze x1 durch x und x2 durch y

x + 2y = 1   | Das kannst du nach y auflösen und hast dann eine Geradengleichung wie in der neunten (achten?) Klasse.

2y = 1 - x

y = 1/2 - 1/2*x

Gerade mit y-Achsenabschnitt m=1/2 und Steigung m = -1/2 .

Das wäre meine geometrische Deutung.

Natürlich kann man die Gerade auch mit einer Parametegleichung angeben, wie das in der Antwort gemacht wurde. Da hat man aber mehr Möglichkeiten und kann die Antworten nicht so einfach prüfen. Stützpunkt ist beliebig auf der Geraden und Richtungsvektor kann beliebige Länge haben (nicht Länge 0).

 x + 2y = 1 

Zwei Punkte auf der Geraden g bestimmen. Eine Koordinate beliebig wählen, die andere ausrechnen. 

x = 3 ==> y = -1       P(3|-1)

y=0 ==> x= 1           Q(1|0)

Gerade g: { OQ + k* QP | k Element R} 

Gerade g:  {(1|0) + k*(2 | -1) | k Element R }