Determinante Null? Eigentlich fertig, aber ich kann meine Lösung nicht deuten...

Question

Ich habe Probleme bei der Deutung von meine, Ergebnis, sind die Gleichungen immer eindeutig lösbar?

[1       1       1

det  a       b       c                = bc²+a²c+ab²-a²b-ab²c-ac²

a^2   b^2   c^2]

Ursprungsgleichungen:

x₁ + x₂ + x₃ = d₁

ax₁ + bx₂ + cx₃ = d₂

a²x₁ + b²x₂ + c²x₃ = d₃

a,b,c sind paarweise verschiedene Zahlen

Answer 1

Löse die Gleichung det(M)=0 nach c auf. Das ist eine normale quadratische Gleichung, die du z.B. mit der pq-Formel lösen kannst.

Nimm dafür aber die richtige Determinante.

Comments

Hätte ich d_1,2,3 miteinbeziehen müssen?

Wie würde die Matrix in diesem Fall aussehen?

[1       1       1   1      

det  a       b       c     1            ^=...?

a²   b²   c²        1 ]

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Nein, die rechte Seite des Glecihungssystems ist für die Berechnung der Determinante irrelevant. Aber der Summand -ab²c stimmt nicht.

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[1       1       1

det  a       b       c                = bc²+a²c+ab²-a²b-b²c-ac²

a²   b²   c²]

0=bc²+a²c+ab²-a²b-b²c-ac²  ⇔-ab²+a²b=bc^2 + a^2 c -bc=c(bc+a^2-b)

bc^2 + a^2 c -bc=0 :b

c^2+(a^2c)/b - c = 0

c_1,2= [(a^2c)/b] /2 +-...

Ich habe noch immer Probleme, irgendwie komme ich auf kein ordentliches Ergebnis

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bc²+a²c+ab²-a²b-b²c-ac² = 0

⇔ (b-a)c²+(a²-b²)c+ab²-a²b = 0

⇔ c²+(a²-b²)/(b-a)c+(ab²-a²b)/(b-a) = 0

p = (a²-b²)/(b-a), q = (ab²-a²b)/(b-a)

Einsetzen in die pq-Formel c = -p/2 ± √(p²/4 - q)

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und ich kann tatsächlich die Werte einsetzten und normal mit der pq weiterrechnen? Sieht nähmlich extrem kompliziert aus...

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Bei p kannst du im Zähler dritte binomische Formel anwenden und dann kürzen. Bei q kannst du im Zähler ab ausklammern und dann kürzen. Dadurch wird's etwas einfacher, nämlich p=-(a+b) unf q=ab.

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bei mir kommt leider nichts sinnvolles heraus bzw. etwas so abgedrehtes, dass ich ein wenig überfordert bin :(

Ich danke dir trotzdem für deine Mühe, war wenigstens mein Ansatz korrekt oder gäbe es eine viel leichtere Methode die Eindeutigkeit der Lösung nachzuweisen?

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c = (a+b)/2 ± √((a+b)²/4 - ab)                       binomische Formel
   = (a+b)/2 ± √(1/4·(a²+2ab+b²) - ab)         ausmultiplizieren
   = (a+b)/2 ± √(1/4·a²+1/2·ab+1/4·b²- ab)  zusammenfassen
   = (a+b)/2 ± √(1/4·a²-1/2·ab+1/4·b²)         ausklammern
   = (a+b)/2 ± √(1/4·(a²-2ab+b²))                  binomische formel
   = (a+b)/2 ± √(1/4·(a-b)²)                            wurzeln
   = (a+b)/2 ± (a-b)/2

⇒ c = a oder c = b

Die Lösung steht im Widerspruch zur Forderung a,b,c seien paarweise verschieden.

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Dein Ansatz war richtig. Man hätte auch das LGS mit Gauß lösen können. Das wäre dann wohl noch komplizierter geworden.

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Ich danke dir für deine Hilfe und verspreche, dass ich in Zukunft bei solchen Aufgaben keine Hilfe mehr benötigen werde :)

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Aus  det(M) = (a - b)·(a - c)·(c - b) ≠ 0  folgt unmittelbar die Behauptung.

Answer 2

Ich hoffe, dass ich's richtig habe. Zeilenrang = Spaltenrang; betrachte mal das ( homogene ) adjungierte LGS .




     x1  +  a  x2  +  a  ²  x3  =  0       (  1a  )

x1  +  b  x2  +  b  ²  x3  =  0       (  1b  )

x1  +  c  x2  +  c  ²  x3  =  0       (  1c  )

Widerspruchsbeweis; der Rang der Koeffizientenmatrix sei positiv.  Dann gibt es im Raum der quadratischen Polynome ein nicht triviales Polynom f ( x ) ( das also nicht das Nullpolynom ist )

f  (  x  ;  x1;2;3  )  =  x3  x  ²  +  x2  x  +  x1     (  2  )

mit den drei Nullstellen a , b und c . Widerspruch; ein quadratisches Polynom kann höchstens zwei Wurzeln haben.

Comments

Ich will ja niemandem seine prämiierten Antworten neiden. Aber die Mitternachtsformel verbaut dir doch nur jedwede Grund lefgende Einsicht. Mal eine Frage ala ===> Spock IQ . Das Prinzip hinter diesem LGS ist klar; du könntest das genau so gut fortsetzen für den Fall 4 711 X 4 711. MEINE Argumentation sticht dann noch immer ===> Lagrangepolynome. Aber du willst mir doch nicht ernsthaft erzählen, dass du gesonnen bist, eine 4 711 X 4 711 Koeffizientenmatrix auszurechnen ...