lineares Gleichungssystem lösen anhand eines Biespiels

Question

Aufgabe:

In einem Bioladen werden Nüsse und Trockenfrüchte zu unterschiedlichen Knabbermischung zusammengestellt. Diese werden wiederum in Lieferpaketen unterschiedlicher Größe an Handler ausgeliefert.
Der Zusammenhang zwischen Rohstoffen, zusammengefasst im Vektor z, und den Endprodukten, zugesammengefasst im Vektor x, wird durch ein lineares Gleichungssystem z=M.x abgebildet.
Im Lager befinden sich 640 kg Nüsse und 760 kg Trockenfrüchte. Die damit produzierbaren Händerpakete erhaiten wir, indem wir

z=(640 , 760) setzen und das lineare Gleichungssystem nach x lösen. Wie kommt man auf das und wieso?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Der Vektor \(x\) ist der Produktionsvektor und enthält die produzierbaren Mengen. Die Matrix \(M\) enthält die für die einzelnen Pakete benötigten Zutaten. Dabei bedeutet der Eintrag \(m_{i, j} \), wie viel Produkt \(j\) von Zutat \(i\) braucht. Man kann sich dann leicht überlegen, dass \(z=Mx\) gilt. Von Zutat 1 brauchen wir bspw. \(z_1=m_{1,1}x_1+m_{1,2}x_2\) Stück. Das ist aber gerade die Berechnung der Einträge bei der Matrix-Vektor-Multiplikation.