Flächeninhalt von Parallelogramm mit Vektoren berechnen?

Question

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms ABDC

A ( -2 I 7 )
B (  3 I 4 )
C (  1 I 6 ) 
D ( -4 I 9 )

Ich weiss aber das gilt: Basis * Höhe = Fläche aber weiss nicht wie ich hier an die Höhekomme da es sich um Vektorgeometrie handelt. 

Ich dachte, wenn ich den Betrag vo, Vektor AB habe kann ich auch zum beispiel den Betrag vom Vektor AD nehmen und würde somit den Flächeninhalt erhalten. 

IABI (in Längeneinheiten) * IADI (in Längeneinheiten) =  x Flächeneinheiten

Die Lösung sagt aber, ich muss per Höhe (das ist mir schon klar, weiss aber nicht genau wie ich es in diesem Fall rechnen muss) und dachte aber dass meine Formulierung oben auch Funktionieren muss. Weil xm * ym = xy*m^{2}




Rechnung

$$\overrightarrow { AB } =\begin{pmatrix} 3- & (-2) \\ 4- & 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}\\ \left| \overrightarrow { AB }  \right| =\quad \sqrt { 25+9 } =\quad \sqrt { 34 } \\ \\ \overrightarrow { AD } =\begin{pmatrix} (-4)- & (-2) \\ 9- & 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \left| \overrightarrow { AD }  \right| =\quad \sqrt { 4+4 } =\quad \sqrt { 8 } \\ \\ A_{ Parallelogramm }=\quad \sqrt { 34 } *\sqrt { 8 } \\ A_{ Parallelogramm }=\quad 4*\sqrt { 17 } \\ \\ $$

Sollte das nicht auch so funktionieren ?

~draw~ polygon(-2|7 3|4 1|6 -4|9);punkt(-4.5|7 "A ( -2I 7)");punkt(-2|7 "");punkt(3|4 "B ( -2I 7)");punkt(-2|7 "");punkt(1|6 "C ( 1I6 )");punkt(-4|9 "D ( -4I9 )");zoom(12) ~draw~

Comments

Oder um es einfacher zu machen, sollte die Frage lauten, wie komme ich an die Höhe?

Ich habe den Vektor AD = -2 in x richtung und 2 in y Richtung

Der Betrag von AD Wäre √(8)

Weiter habeuch den Rechten Winkel der Höhe a auf der Strecke CD
Aber ich weiss nicht wie lange die Höhe selber ist und ich weiss nicht wie lange der Rest der Strecke CD ist den die Höhe schneidet. 

Answer 1

AB = [5,-3]

AD = [-2,2]

Determinante: 5 * 2 - (-3) * (-2) = 10 - 6 = 4

Es geht auch über den Winkel. Das ist nicht schneller sondern vielleicht nur verständlicher.

γ = ACOS([5, -3]·[-2, 2]/(ABS([5, -3])·ABS([-2, 2]))) = 2.896613990

ABS([5, -3])·ABS([-2, 2])·SIN(2.896613990) = 4

Comments

Ouh vielen Dank !

Das verstehe ich noch nicht, In der Lösung ist auch das mit dem Winkel angegeben. 

Wenn du das in Worte fassen würdest, wie würdest du den folgenden Rechenweg schildern:

γ = ACOS([5, -3]·[-2, 2]/(ABS([5, -3])·ABS([-2, 2]))) = 2.896613990 

ABS([5, -3])·ABS([-2, 2])·SIN(2.896613990) = 4

---

Mach dich vielleicht mal vorher mit den Formeln vertraut.

---

Vielen Dank, 

Im prinzip weiss ich wie ich an die Winkel in einem vektoriellen Parallelogramm komme. Das war auch die aufgagbe in einer Teilaufgabe zuvor. 

Wenn ich die Höhe zum Punkt D ziehe welche im lot auf die Basislinie AB fällt erhalte ich ein rechtwinkliges Dreieck.

Könnte ich die Höhe zum Punkt D dann berechnen hätte ich eine quadratische Fläche bei der gilt,
A = Basis * Höhe

Das problem ist, dass ich nicht in der Lage bin in dieser Form auf die Höhe zu kommen. 

Die Basis wäre ja AB die Höhe wäre ein Punkt P zu D PD aber ich kann diesen nicht bestimmen.

Mein Problem ist folgendes

Wie komme ich an die Streche AP in diesem Parallelogramm, oder wie bestimme ich generell Höhen eines Parallelogramms, die voraussgesetzt für die Flächenberechnung ist.

~draw~ polygon(2|2 7|2 9|5 4|5);;;strecke(4|2 4|5);punkt(2|2 "");punkt(0|2 "A ( 2I2 ) ");punkt(7|2 "B ( 7I2 ) ");punkt(9|5 "C ( 9I5 ) ");punkt(1.9|5 "C ( 4I5 ) ");punkt(4|5 "");punkt(4|1.5 "P ( xIy) ");strecke(2|2 4|2);kreissektor(4|2 0.5 0° 90°);zoom(10) ~draw~

---

Es gilt

SIN(α) = |CP| / |AC|

oder aufgelöst

|CP| = |AC| * SIN(α)

Das kannst du also für die Höhe einseten.

Was dich letztendlich auf meine Formel bringt

ABS([5, -3])·ABS([-2, 2])·SIN(2.896613990) = 4