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Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte A(2, −14, 5), B(11, −2, −10) und C (−10, −5, −10).


Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe bisher OD ausgerechnet durch OA+AB = (-19.-17.5)

Nun habe ich probiert den Flächeninhalt auszurechnen per Kreuzprodukt: AB X BC und habe 225 wurzel 3 raus.

wenn ich allerdings AB X AC rechne komme ich irgendwie auf einen anderen Flächeninhalt, müsste es nicht aber auf das selbe Ergebnis hinauslaufen? Oder hab ich irgendwo ein Fehler?


Vielen Dank für Vorschläge :)

von

3 Antworten

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Aloha :)

Wenn du die Fläche mit dem Kreuz-Produkt ausrechnen möchtest, sollten streng genommen beide Vektoren denselben Startpunkt haben. Bei \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\) ist dies der Fall, beide Vektoren starten beim Punkt \(A\). Bei \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}\) ist dies nicht der Fall. Trotzdem kommt bei einem Parallelogramm dasselbe raus, weil \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) ist. Die Fläche ist:

$$F=\left|\left(\begin{array}{c}9\\12\\-15\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-12\\9\\-15\end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{c}-45\\315\\225\end{array}\right)\right|=\sqrt{151\,875}=225\sqrt3$$

Beachte bei dir: \(\overrightarrow{0D}=\overrightarrow{0A}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0A}+\overrightarrow{BC}\)

von 26 k

Ok vielen dank jetzt macht es sinn für mich :)

Bei AB×BC ist dies nicht der Fall. Trotzdem kommt bei einem Parallelogramm dasselbe raus, weil AD=BC ist.

@Tschaka:

Widersprichst du dir da nicht?

AB×BC=AB×AD, also haben beide denselben Startpunkt.

@Monthy :)

Ja, genau das wollte ich eigentlich ausdrücken. Weil \(AD=BC\) ist, kommt dasselbe raus, obwohl der Startpunkt scheinbar ein anderer ist, ist es doch derselbe Vektor.

Entschuldige, wenn ich das nicht klar genug dargestellt habe.

@Tschaka

Du brauchst dich doch nicht zu entschuldigen. Ich hatte nur den Eindruck, dass dein ursprünglicher Text falsch interpretiert werden könnte,

+1 Daumen

A(2, −14, 5), B(11, −2, −10) und C (−10, −5, −10).

Es sollte eigentlich das gleiche heraus kommen. Ich rechne das mal vor.

AB = [9, 12, -15]

AC = [-12, 9, -15]

BC = [-21, -3, 0]

|AB ⨯ AC| = |[9, 12, -15] ⨯ [-12, 9, -15]| = 225·√3

|AB ⨯ BC| = |[9, 12, -15] ⨯ [-21, -3, 0]| = 225·√3

Wo hast du denn eine Abweichung?

von 317 k 🚀
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Ja, es muss das selbe herauskommen. Du hast also in einer deiner Betragsberechnungen einen Fehler.

von 11 k

Ich finde nur mein Fehler nicht... hab jetzt beide Kreuzprodukte mehrmals auch per Online-Rechner gerechnet also Kann es eig. nur an einen Vektor liegen aber ich dächte mein Vektor OD stimmt?

Kann es eig. nur an einen Vektor liegen aber ich dächte mein Vektor OD stimmt?

Was hat das damit zu tun? In keinem deiner beiden Vektorprodukte AB X BC bzw. 
AB X AC kommen die Koordinaten von D zur Anwendung.

Hättest du deine beiden Rechnungen mal eingestellt, wäre der Fehler längst gefunden.

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