Ich habe Probleme/ Unsicherheiten bei folgenden Aufgaben:
1)
Hauptraum von A=⎝⎛40013−1−1−13⎠⎞∈R3×3 berechnen.
Dafür berechne ich zunächst die Eigenwerte von A. Charakteristische Polynom χA=(4−x)(3−x)(3−x)−4+x=−x3+10x2−32x+32
Nulstellen davon sind 2 und 4, wobei 4 die doppelte Nullstelle ist.
Eigenvektor zu 2: (A−2∗E)x=0⟹x=⎝⎛011⎠⎞
Da 4 die algebraische Vielfachheit 2 hat muss ich nun (A−4E)2x=0 bestimmen, oder? Meine berechnungen liefern: x=⎝⎛01−1⎠⎞
Damit ist dann der Hauptraum = {x∗⎝⎛011⎠⎞+y∗⎝⎛01−1⎠⎞∣x,y∈R}
Ist das richtig so?
2)
Vektorraum-Homomorphismus f : (F7)3→(F7)2 angeben so. dass:
f(⎝⎛a1a2a3⎠⎞=(a10) falls a1+a2+a3=0
Das wäre doch einfach f(x) = Ax, für eine Matrix A, wie folgt A=(100000) oder muss ich hier lieneare unabhängigkeit der Spaltenvektoren fordern?