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Ich habe Probleme/ Unsicherheiten bei folgenden Aufgaben:

1)

Hauptraum von A=(411031013)R3×3 A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 3} berechnen.

Dafür berechne ich zunächst die Eigenwerte von A. Charakteristische Polynom χA=(4x)(3x)(3x)4+x=x3+10x232x+32 \chi_{A} = (4-x)(3-x)(3-x)-4+x=-x^{3}+10x^{2}-32x +32

Nulstellen davon sind 2 und 4, wobei 4 die doppelte Nullstelle ist.

Eigenvektor zu 2: (A2E)x=0x=(011) (A - 2*E)x=0 \Longrightarrow x = \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}

Da 4 die algebraische Vielfachheit 2 hat muss ich nun (A4E)2x=0 (A-4E)^{2}x = 0 bestimmen, oder? Meine berechnungen liefern: x=(011) x = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}

Damit ist dann der Hauptraum = {x(011)+y(011)x,yR} \{ x* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + y*\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ -1 \end{pmatrix} | x,y \in \mathbb{R} \}

Ist das richtig so?

2)

Vektorraum-Homomorphismus f : (F7)3(F7)2f: (\mathbb{F}_{7})^{3} \rightarrow (\mathbb{F}_{7})^{2} angeben so. dass:

f((a1a2a3)=(a10) f( \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ 0 \end{pmatrix} falls a1+a2+a3=0 a_{1}+ a_{2} + a_{3} = 0

Das wäre doch einfach f(x) = Ax, für eine Matrix A, wie folgt A=(100000) A = \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix} oder muss ich hier lieneare unabhängigkeit der Spaltenvektoren fordern?

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ich verstehe  nicht, warum es beim charakteristischen Polynom 32x sind und nicht 33x. (also woher kommt am Ende -4+x )?

Regel von Sarrus. -1 * -1 * (4-x)

Oh, Shit! Ja klar, hab einfach 4 statt 4-x genommen.

Jetzt macht es Sinn, hatte nämlich die ganze Zeit komische NST:D

Danke dir !

1 Antwort

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Zusammenfassung

(λ2)  (λ4)2=0-\left(\lambda - 2 \right) \; \left(\lambda - 4 \right)^{2} = 0

EW:={2, 4}

DimEigenraum:={1, 1}

(λ=2(211011011)(x1x2x3)=0λ=4(011011011)(x1x2x3)=0)\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&2&\left(\begin{array}{rrr}2&1&-1\\0&1&-1\\0&-1&1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&4&\left(\begin{array}{rrr}0&1&-1\\0&-1&-1\\0&-1&-1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)

==>

EV=(011010)EV=\left(\begin{array}{rr}0&1\\1&0\\1&0\\\end{array}\right)

Suche HV ∈ Ker (A-λE)N mit dim Ker (A-λE)N = n ∧ HV ¬∈ Ker (A-λE)N-1

HVKandidaten1 : =(100101)\small HVKandidaten1 \, := \, \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&-1\\0&1\\\end{array}\right)

(A - 4 E) HVKandidaten1

HV12 : =(020000)\small HV1_2 \, := \, \left(\begin{array}{rr}0&-2\\0&0\\0&0\\\end{array}\right)

==>

T : =(200011011)\small T \, := \, \left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&-1&1\\0&1&1\\\end{array}\right)

D:=T^(-1) A T

D : =(410040002)\small D \, := \, \left(\begin{array}{rrr}4&1&0\\0&4&0\\0&0&2\\\end{array}\right)

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