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Aufgabe:

$$ A :=\left( \begin{array}{cccc}{3} & {0} & {4} & {2} \\ {0} & {-3} & {-2} & {1} \\ {0} & {0} & {2} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {-3}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4,4} $$

(a) Bestimmen Sie det(A) mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes. Begründen 
Sie damit, ob Null ein Eigenwert von A ist und welche Bedeutung das für den Kern 
hat.
(b) Ist A eine injektive/surjektive/bijektive Abbildung?
(c) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und geben Sie die algebraische Vielfachheit an.
(d) Bestimmen Sie die geometrische Vielfachheit der Eigenwerte.
(e) Gibt es eine Basis des R^4, die aus Eigenvektoren der Matrix A besteht?

Problem/Ansatz:

Hallo,
ich habe bei diesen Aufgaben ein paar Probleme und werde die Fragen nummerieren,, ich hoffe man kann mir helfen.
a)
Die Determinante lautet 54.

Da det(A) ungleich 0, ist Null kein Eigenwert von A und der Kern besteht somit nur aus dem Nullvektor.
1) Ist das die gesuchte Antwort?

b) Da det(A) ungleich 0 und somit die NZSF von A die Einheitsmatrix ist, also dim(Bild(A)) = Dim(A) und Dim(Kern(A)) = 0,

ist A sowohl injektiv als auch surjektiv und damit bijektiv.
2) Ist das ausreichen oder muss man es anders Begründen?

c)

Die Eigenwerte bestimme ich mittels des charakteristische Polynoms.
$${ p }_{ A }(z)=det(A-z{ I }_{ 3 }=det\left( \left( \begin{array}{ cccc } { 3 } & { 0 } & { 4 } & { 2 } \\ { 0 } & { -3 } & { -2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { -3 } \end{array} \right) -\left( \begin{array}{ cccc } { z } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { z } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { z } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { z } \end{array} \right)  \right) \\ =det\left( \begin{array}{ cccc } { 3-z } & { 0 } & { 4 } & { 2 } \\ { 0 } & { -3-z } & { -2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2-z } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { -3-z } \end{array} \right) =λ^{ 4 }+λ^{ 3 }-15λ^{ 2 }-9λ+54\quad =\quad (λ-3)(λ-2)(λ+3)^{ 2 }\\ Und\quad damit\quad lauten\quad die\quad Eigenwerte\quad { λ }_{ 1 }=3,{ λ }_{ 2 }=2,{ λ }_{ 3/4 }=-3\\ Und\quad die\quad algebraische\quad Vielfachheit\quad von\quad { λ }_{ 1 }\quad und\quad { λ }_{ 2 }\quad laute\quad 1\quad \\ und\quad von\quad die\quad von\quad { λ }_{ 3/4 }\quad lautet\quad 2.$$

3) Ist dies so korrekt?

d)

Die geometrische Vielfachheit von λ_1 und λ_2 lautet 1 und die von λ_3/4 lautet 2, denn es gilt ja
geometrische Vielfachheit <=algebraische Vielfachheit.

4) Ist dies so korrekt?


e)
Hier hänge ich im Moment und sehe keine Lösung, wäre nett, wenn mich Jemand auf den richtigen Weg bringen 

könnte.

P.S. Ihr müsst nichts nachrechnen, Wolfram kommt auf die selben Ergebnisse, es geht nur darum, ob meine Lösung so passt.

Vielen Dank im Voraus

LG Juliane

von

Zu e) Da es ja nur 3 Eigenwerte gibt die unterschiedlich sind und daraus die lineare Unabhängigkeit folgt, aber da dim (A) = 4  und damit 4 lineare unabhängige Vektoren für eine Basis benötigt, würde ich die Frage verneinen?


Eine Weitere frage wäre, ob man die oberen Rechnungen auch vereinfachen, also schneller machen könnte, alleine die Nullstellen des charakteristische Polynom zu berechnen dauerte bei mir schon 10 Minuten.

Hat Niemand eine Idee?

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

1) Ist das die gesuchte Antwort?

Die Entwicklung fehlt aber.  Ich würde nach der 1.Spalte entwickeln und die

Untermatrix wieder nach der 1. Spalte.

2) Ist das ausreichen oder muss man es anders Begründen?

Ich meine: Ja

3) Ist dies so korrekt?  Ich meine: Ja

e) Die beiden Eigenwerte mit der alg. Vielfachheit 1 liefern zwei

lin. unabh. Eigenvektoren. Diese kann man zu einer Basis aus

Eigenvektoren ergänzen, wenn der 3. Eigenwert einen Eigenraum

der Dim 2 hat.

A - (-3)*E  hat aber den Rang 3, also ist der Eigenraum nur 1-dim.

Es geht also nicht.

Die Matrix ist also nicht diagonalisierbar, kannst du mit

wolframalpha bestätigen.

https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=911fd1d5ae12712f1c1d2dd9cd95e823

von 174 k

Hallo mathef
ich danke dir für die Antwort.
LG Juliane

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