Ich habe Probleme/ Unsicherheiten bei folgenden Aufgaben:
1)
Hauptraum von \( A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \) berechnen.
Dafür berechne ich zunächst die Eigenwerte von A. Charakteristische Polynom \( \chi_{A} = (4-x)(3-x)(3-x)-4+x=-x^{3}+10x^{2}-32x +32 \)
Nulstellen davon sind 2 und 4, wobei 4 die doppelte Nullstelle ist.
Eigenvektor zu 2: \( (A - 2*E)x=0 \Longrightarrow x = \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \)
Da 4 die algebraische Vielfachheit 2 hat muss ich nun \( (A-4E)^{2}x = 0 \) bestimmen, oder? Meine berechnungen liefern: \( x = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \)
Damit ist dann der Hauptraum = \( \{ x* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + y*\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ -1 \end{pmatrix} | x,y \in \mathbb{R} \} \)
Ist das richtig so?
2)
Vektorraum-Homomorphismus \(f: (\mathbb{F}_{7})^{3} \rightarrow (\mathbb{F}_{7})^{2} \) angeben so. dass:
\( f( \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ 0 \end{pmatrix} \) falls \( a_{1}+ a_{2} + a_{3} = 0 \)
Das wäre doch einfach f(x) = Ax, für eine Matrix A, wie folgt \( A = \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix} \) oder muss ich hier lieneare unabhängigkeit der Spaltenvektoren fordern?
