Eine Antwort ohne Rechnung: Durch Abrollen kann man den Zylindermantel laengentreu in die Ebene abbilden. Da ist die kuerzeste Verbindung die Strecke zwischen den Bildern von P1 und P2. Die musst Du jetzt nur wieder auf den Zylinder zuruecktransformieren.
Wenn man rechnen will, kann man sich daran orientieren. In Zylinderkoordinaten schreibt sich ein Weg von P1 nach P2 als $$\phi(t)=(R\cos\varphi(t),R\sin\varphi(t),z(t))$$ und das zu minimierende Funktional lautet $$(\varphi,z)\mapsto\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{R^2\dot{\varphi}^2+\dot{z}^2}\,dt.$$ Das sieht wie erwartet gerade so aus, wie wenn man zwei Punkte in der Ebene durch eine Kurve \((x,y)\) verbindet: $$(x,y)\mapsto\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\,dt.$$ Und das ist ja jetzt ein Standardbeispiel, das man ueberall vorgerechnet findet, bzw. wovon man die Lösung eben kennt.
