Beweis einer Logarithmus Gleichung

Question

Hallo Ich bitte um Hilfe

Wie kann ich diese beiden Gleichungen zeigen?

Vielen lieben Dank im voraus:)

Answer 1

Es gilt die Eigenschaft $$\log_b(X)+\log_b(Y)=\log_b(X\cdot Y)$$ Für die Basisumrechnung gilt folgendes: $$\log_b X=\frac{\log_c X}{\log_c b}$$ Ein Spezialfall (X=a) ist $$\log_c b=\frac{1}{\log_b c}$$

Wir bekommen also folgendes $$\frac{1}{\frac{1}{\log_x a}+\frac{1}{\log_y a}}=\frac{1}{\log_a x+\log_a y}=\frac{1}{\log_a (x y)}=\log_{xy} a$$

Comments

Hallo Marianthi,

magst Du mal Deine Rechnung überprüfen? Ich bekomme dasselbe Ergebnis wie es der Fragesteller angibt.

$$log_{x} a = \frac{\ln a}{\ln x}, log_{y} a = \frac{\ln a}{\ln y} \Rightarrow \frac{1}{\log_{x} a } = \frac{\ln x}{\ln a}, \frac{1}{\log_{y} a } = \frac{\ln y}{\ln a}\\\frac{1}{\frac{1}{\log_{x} a}+\frac{1}{\log_{y} a}} = \frac{1}{\frac{\ln x}{\ln a} + \frac{\ln y}{\ln a}} = \frac{\ln a}{\ln x + \ln y} =  \frac{\ln a}{\ln (xy)} = log_{xy}(a)$$

Beste Grüße
gorgar

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Hallo gorgar,

danke für den Hinweis! (Hatte bei der letzte Gleichung ausversehen 1/log_xy (a) statt log_xy (a) geschrieben.)