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4

\textstyle \int1      4/x^2 dx

und 

1

\textstyle \int-1      4/x^2 dx 


4/x^2 -> -(4/x). Laut Lösungen sollte das zweite nicht definiert sein. -4-4=-8. In den Lösungen steht aber "1\textstyle \int-1 4/x^2 ist nicht definiert, weil 4/x^2 für 0 nicht definiert ist (Polstelle).

von

2 Antworten

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Wenn f: [a, b] → ℝ stetig ist, und F'(x) = f(x) für alle x ∈ [a, b] ist, dann ist

        ∫a..b f(x) dx = F(b) - F(a).

Dein Versuch, ∫-1..1 4/x2 dx mit diesem Hauptsatz zu berechnen, scheitert daran, dass f: x ↦ 4/x2 nicht [-1, 1] → ℝ sein kann, allenfalls [-1, 1]\{0} → ℝ. Das vertößt aber gegen die Voraussetzungen des Hauptsatzes.

Man könnte das reparieren indem man f: [-1, 1] → ℝ definiert als x ↦ 4/x2 für x ≠ 0 und x↦0 für x = 0. Dann passt schon mal der Definitionsbereich. Aber die Funktion ist dann nicht stetig und du darfst den Hauptsatz ebenfalls nicht anwenden.

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Danke für die Antwort, Oswald. Hab's nun verstanden.

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Am besten siehst du das Problem bei b) in einem Plot (wenn du dir f(x) = 4/x^2 nicht vorstellen kannst).

~plot~ 4/x^2;x=0;x=-1;x=1 ~plot~ 

Aus Symmetriegründen, müsstest du das Integral z.B. bei der Postelle x=0 aufteilen können. 

Wenn beide Teile eine endliche Fläche haben, kann man auch die Summe der beiden Flächenstücke als gesuchte Fläche definieren. Sonst nicht. 

von 147 k

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