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Es geht um die Aufgabe 2) auf dem Bild. Ich denke , dass die Antwort (iii) ist , bin mir aber nicht ganz sicher warum, das so ist.

Des Weiteren bräuchte ich Hilfe wie ich dann die Äquivalenz beweisen kann.Bild Mathematik
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Da X eine Basis ist, gilt für jedes a aus V, es gibt a1,...,an mit a = ∑ aixi

also für alle j   < a, xj > =  < ∑ aixi , xj >

=  (wegen der Linearität des Skalarproduktes im 1. Argument)   ∑ ai <xi ,xj >

Andererseits  x*j (a) = x*j (∑ aixi ) = (wegen Linearität der Linearformen)

=  ∑ ai * x*j ( xi ) .
Und das stimmt nur überein , wenn X orthonormal ist.

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