wollte fragen ob folgender Beweis zur Linearität von dualen Abbildungen in Ordnung ist.
Die duale Abbildung ist bei uns so definiert:
Ist \( f: V \to W \) eine K-lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen, so nennen wir
\( f^{\vee}: W^{\vee} \to V^{\vee}, \lambda \mapsto \lambda \circ f \)
die duale Abbildung zu \( f \).
Beweis zur Linearität:
(i) Zu zeigen: \( \forall \lambda_1,\lambda_2 \in W^{\vee}: \quad f^{\vee}(\lambda_1 + \lambda_2) = f^{\vee}(\lambda_1) + f^{\vee}( \lambda_2) \)
Seien \( \lambda_1,\lambda_2 \in W^{\vee}\) und \( v\in V \) beliebig. Dann gilt:
\( \left(f^{\vee}(\lambda_1 + \lambda_2)\right)(v) = (\lambda_1 + \lambda_2)\left(f(v)\right)\\= \lambda_1(f(v)) + \lambda_2(f(v)) \\= ( \lambda_1\circ f)(v) +( \lambda_2\circ f)(v) \\= \left(\lambda_1\circ f + \lambda_2\circ f \right)(v) \\= \left(f^{\vee}(\lambda_1) + f^{\vee}(\lambda_2)\right)(v) \qquad \qquad \surd\)
(ii) Zu zeigen: \( \forall \lambda, \in W^{\vee},\forall \alpha \in K: \quad f^{\vee}(\alpha \cdot \lambda) = \alpha \cdot f^{\vee}(\lambda) \)
Seien \( \lambda \in W^{\vee}, \alpha \in K \) und \( v\in V \) beliebig. Dann gilt:
\( \left(f^{\vee}(\alpha \cdot \lambda )\right)(v) = (\alpha \cdot \lambda)\left(f(v)\right)\\= \alpha \cdot \lambda(f(v)) \\= \alpha \cdot (\lambda \circ f)(v) \\= \alpha \cdot\left( f^{\vee}(\lambda) \right)(v) \qquad \qquad \surd\)
