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Es seien U und V Vektorräume über einem Körper K. Zu einer linearen Abbildung f ; U → V ist die duale Abbildung f* : V* → U*, φ → φ ° φ definiert.    ( ° = Kompositionszeichen)

Zeigen Sie:

1) Die Abbildung * : HomK (V*, U*), f → f*, ist linear

2) Ist f: U → V ein K-Vektorraum-Epimorphismus, so ist f*: V* → U* ein K-Vektorraum-Monomorphismus

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So wie sie da steht, ist die Def von f* sicher falsch.

f* : V* → U*, φ → φ ° φ soll vermutlich heißen   φ → φ ° f.
So ist die Def. üblich und macht auch Sinn:
denn das f* soll von V*  nach U* gehen
wenn du also ein Element a aus V* hast
  (a kann ich schneller tippen als φ )
dann ist das eine Linearform auf V, bildet also
Elemente von V nach K ab.
Dann ist f*(a) = a ° f sinnvoll, denn
mit dem f kommt man von U nach V

( Das ist in deiner Def. richtig :
  f von U nach V aber f* von V* nach U*)

und dann mit den a von V nach K, insgesamt mit
f* also von U nach K, ist also eine Linearform aus U*.

linear:
Du musst zeigen: Sind f,g lineare Abb. von U nach V, so
ist (f+g)* = f* + g*
Um die Gleichheit von Abb. zu zeigen muss für jedes a aus V*
gelten  (f+g)*(a) = f*(a) + g*(a)
Das hieße nach Def. von *:              a ° (f+g) = a°f + a°g
Hier steht aber wieder die Beh. dass zwei Abb'en (diesmal von
U nach V )gleich sind.
Also musst du für jedes u aus U zeigen: (a ° (f+g))(u) = (a°f + a°g)(u)
fang mal mit der linken Seite an, das ist nach Def von °
a(f+g)(u)  = nach Def der Summe zweier lin Abb'en
 a( f(u) + g(u) ) =  weil a linear ist, es ist ja eine LINEARform
a(f(u) + a(g(u) =   Def von °
(a°f)(u) + (a°g)(u) = Def. der Summe a°f + a°g
(a°f + a°g)(u)  q.e.d.

So ähnlich kriegst du es auch für hin : Für alle k aus K ist (k*f)* = k*f*

2.
Nachweis für injektivität von f*   :
nach der Methode: Sind zwei Bilder gleich, so auch die Urbilder.

Also seien  a,b aus V* mit f*(a) = f*(b)
                              also   a°f = b°f
Das sind beides Abb'en von U nach K,
da sie gleich sind,  gilt für alle u aus U nach Def von °
                                a(f(u))   =  b(f(u))
Da f surjektiv ist, kommen bei den f(u) alle Elemente
von V vor, also gilt für alle v aus V  a(v) = b(v)
und damit a=b.     q.e.d.
von 152 k

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