Grössten achsenparallelen Quader mit Eckpunkten auf Ellipsoid berechnen. Ellipsoid x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1

Question

Unter der Voraussetzung, dass ein solcher Quader mit maximalem Volumen existiert, soll ich folgendes berechnen:

seinen a,b,c>0

Man berechne den achsenparallelen Quader mit dem größten Volumen dessen Eckpunkte auf dem Ellipsoid liegen, das gegeben ist durch die Gleichung

x²/a²+y²/b²+z²/c²=1

Answer 1

Da der Punkt (0/0/0) im Zentrum des Ellipsoids liegt, genügt es, den achsenparalleln Quader mit dem Eckpunkt (0/0/0) zu betrachten, dessen raumdiagonal gegenüberliegender Eckpunkt (u/ v/w) auf dem Ellipsoid liegt. Dieser Quader hat das Volumen V=u·v·w. Die Nebenbedingung ist u²/a²+v²/b²+w²/c²=1. Diese nach einer Variablen (z.B. v) auflösen und in die Hauptbedingung einsetzen. Für feste Zahlen a,b und c ergibt sich dann eine Funktionenschar, z.B.  V_u(w), deren Ortslinie der Maxima zu bestimmen ist. Anschließend ist das Maximum dieser Ortslinie zu bestimmen.Das wird eine wahnsinnige Rechnerei - vor allem, wenn keine Zahlenwerte für a,b und c gegeben sind.

Comments

Lösungsvorschlag

x = ± a / √3

y = ±  b / √3

z = ±  c / √3

Das habe ich nur so auf die schnelle durchgerechnet. Es sollte noch geprüft werden.