Gegeben habe ich folgende Aufgabe:
Ich bin mir hier nicht so ganz sicher., also wäre es sehr nett wenn jemand helfen könnte.
Hier sind meine Lösungen:
(a) $$ (id-P)^2=id^2-2P+P^2=id-P-P+P=id-P $$
(b)
Ich wollte hier zeigen, dass die lineare Abbildung injektiv ist. Für lambda \(\lambda=0\) Ist unsere Abbildung \( id\) ja bijektiv, also sei \(\lambda\neq0\).
Folgend sei \((\lambda P -id)(v)= 0 \) also \(\lambda P(v)=v \), dann folgt jedoch
\(\frac{1}{\lambda}v=P(v)=P(P(v))=P(\frac{1}{\lambda} v)=\frac{1}{\lambda} P(v)=\frac{1}{\lambda ^2} v.\)
Resultierend haben wir also: \( (1-\lambda )v=0 \), da jedoch \(\lambda\neq1\) gilt folgt also \(v=0\) und gleichzeitig damit auch die Injektivität (sowie daraus die Bijektivität)
Ich hoffe das ist so richtig..
lg
