Projektion zeigen (bijektiv)

Question

Gegeben habe ich folgende Aufgabe:

Ich bin mir hier nicht so ganz sicher., also wäre es sehr nett wenn jemand helfen könnte.

Hier sind meine Lösungen:

(a) $$(id-P)^2=id^2-2P+P^2=id-P-P+P=id-P$$

(b)

Ich wollte hier zeigen, dass die lineare Abbildung injektiv ist. Für lambda $\lambda=0$ Ist unsere Abbildung  $id$  ja bijektiv, also sei  $\lambda\neq0$.

Folgend sei $(\lambda P -id)(v)= 0$ also  $\lambda P(v)=v$, dann folgt jedoch

$\frac{1}{\lambda}v=P(v)=P(P(v))=P(\frac{1}{\lambda} v)=\frac{1}{\lambda} P(v)=\frac{1}{\lambda ^2} v.$

Resultierend haben wir also:  $(1-\lambda )v=0$, da jedoch $\lambda\neq1$ gilt folgt also  $v=0$ und gleichzeitig damit auch die Injektivität (sowie daraus die Bijektivität)

Ich hoffe das ist so richtig..

lg

Answer 1

Das mit der binomischen Formel würde ich so nicht schreiben; denn

im allg. sind ja Verkettungen von Abbildungen nicht kommutativ, also eher so

(id - P) o (id - P) = (id - P) o id - ( (id - P) o P )

=id o id - P o id - (  id o P  - P o P )

= id   -  P   - ( P  - P )

=  id   -  P

Das andere ist OK, vielleicht wäre noch so ein

Zwischenschritt wie

Resultierend haben wir also: λv = v also ( 1-λ)v = 0 .............

Comments

Ah ok. Danke. Wie siehts mit der (b) aus?

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Hab noch was ergänzt.