Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen - Integral

Question

die Aufgabe lautet:

Die Tangente und die Normale im Punkt P (xo / f(xo)) bilden mit der x-Achse ein Dreieck. Berechnen den Inhalt.

Sagen wir der Punkt lautet P (5/2,5)

Wie berechne ich denn dann die Tangente oder die Normale, wenn ich keine Funktionsgleichung habe?

Also ich weiß, dass es diese Forme für die Tangente gibt:

f`´(xo) * (x-xo) + yo

und für die Normale:

1/-f´(xo) * (x-xo) + yo

Aber dafür brauche ich doch dann f? Aber das ist  ja nicht mal angegeben :o

ich bin verwirrt

Answer 1

Es ist nicht unbedingt notwendig, Tangente und Normale der Funktion zu kennen, wenn Du den Flächeninhalt besagten Dreiecks berechnen möchtest. Für die Fläche brauchst Du nur die Grundseite des Dreiecks und seine Höhe. Die Höhe ist in diesem Fall \(f(x_0)\). Jetzt brauchst Du noch eine zusätzliche Information um auf die Länge der Grundseite zu kommen. Bedenke, dass das Dreieck rechtwinklig ist.

Ist noch irgendetwas anderes gegeben? Bzw. wie lautet die vollständige Aufgabe?

Comments

Also eigentlich ist das ,,Die Tangente und die Normale im Punkt P (xo / f(xo)) bilden mit der x-Achse ein Dreieck. Berechnen den Inhalt " nur eine Standardfrage, die wir von unserem Lehrer bekommen hatten.

Den Punkt habe ich einfach so aus dem Kopf genommen.

Ist diese eine zusätzliche Funktion dann beispielsweise :

f(x) 1/10 x^2 

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Wenn eine Funktion \(f(x)\) und der Punkt \(x_0\) gegeben ist, ist die Sache klar: Bestimme die beiden Geradengleichungen von Normale und Tangente in \(x_0\) und berechne ihre Schnittstellen mit der X-Achse (= Nullstellen der Geraden). Die Differenz der Nullstellen gibt dann die Länge der Grundseite des Dreiecks.

Es kann natürlich auch sein, dass nur \(P(x_0; f(x_0))\) gegeben ist und ein zweiter Punkt \(Q\), der auf der Normalen liegt. Dann lässt sich der Flächeninhalt auch berechnen.

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Dann habe ich die Tangentengleichung:

yT= 5/2x - 10

Und die Normalengleichung:

yN= 2/5x + 1/2

Die Schnittstellen mit der x- Achse wären bei der Tangente x= 4 und bei der Normale x= 1,25

Die Differenz wäre dann 2,75 oder?

Also habe ich die länge der Grundseite, was ist dann mit der Höhe?

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Die Höhe ist \(=f(x_0)\).

Aber wie kommst Du auf die Gleichungen? Wenn \(f(x)=\frac{1}{10}x^2\), dann ist \(f'(x)=\frac{1}{5}x\) - was ist Dein \(x_0\)?

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Aaah ich habe den Fehler raus :D

Also ich habe die Funktion sowie den Punkt einfach so gewählt. Also das war

P(5/2,5) und f(x)= 1/10x^2

Tangentengleichung

f`´(xo) * (x-xo) + yo  ich setzte alles ein und bekomme 

yT= x-2,5

Normalengleichung 

1/-f´(xo) * (x-xo) + yo ich setzte alles ein und bekomme 

yN= 7,5-x

Dann setzte ich die Tangentengleichung gleich Null 

0= x-2,5

bekomme dann x= 2,5

Und die  Normalengleichung gleich Null 

0=7,5-x

und bekomme x= 7,5

Du hast gesagt, die Grundseite bekomme ich durch die Differenz der x-Werte, das wäre dann 

5 oder? 

Wenn ja, dann stimmt das ja alles bisher. 

Und nun hast du gesagt, die Höhe bekomme ich wenn ich f(5) mache. 

Also bekomme ich für die Höhe = 5/2 raus 

So der Flächeninhalt berechnet sich ja 

Ad= 1/2 *g *h 

also Ad= 1/2* 5 * 5/2 

Also ist der Flächeninhalt 

6,25 oder? 

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Hallo taghrid,

Du schreibst: "Also ist der Flächeninhalt 6,25 oder? " - Ja prima; alles richtig; wie auch folgende Skizze zeigt:

~plot~ 0,1*x^2;x-2,5;7,5-x;[[-1|9|-2|6]] ~plot~

Gruß Werner

Answer 2

meiner Meinung soll allgemein für gegeben
( x₀ | f ( x₀ )  )
der Flächeninhalt des Dreiecks  Tangente / Normale
/ x-Achse berechnet werden.
1. Tangentengleichung aufstellen
2.Schnittpunkt x1 mit der x-Achse berechnen
3. Normalengleichung aufstellen
4. Schnittpunkt  x2 mit der x-Achse feststellen

Fläche Dreieck : Differenz abs ( x1 - x2 ) mal
Höhe ( = f ( x₀ )) geteilt durch 2

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