Flächeninhalt eines Dreiecks -Tangenten

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(x0|f(x0)) mit der Geraden n und der x-Achse einschließt.

f(x) = x^3-1

n(x)= -1/3x-7/3   x0=-1

Kann mir hier jemand helfen?

Ich weiß nicht ganz genau wie man hier vorgeht.

Answer 1

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

xo=Stelle,wo die Tangente an der Funktion f(x)=.. liegen soll

xo=-1

f(x)=x³-1  abgeleitet f´(x)=3*x²  f(xo)=f(-1)=(-1)²-1=-2 f´(xo)=f´(-1)=3*(-1)²=3

eingesetzt

yt=ft(x)=3*(x-(-1)+(-1)³-1)=3*x+3-1-2

yt=ft(x)=3*x+1

Gerade  n(x)=-1/3*x-7/3

f(x)=x³-1

Alle 3 Funktionen schneiden sich im Punkt Ps(-1/2)

f(x)=ft(x)  Schnittpunkt Ps(-1/-2)

ft(x)=n(x) Schnittpunkt Ps(-1/-2)

f(x)=n(x) schnittpunkt P2(-1/-2)

Integrationsgrenzen sind die Nullstellen von n(x)=.. und ft(x)=...

n(x)=0=-1/3*x-7/3   xu=(7/3)/(-1/3)=-7

ft(x)=3*x+1  xo=-1/3

Das Dreieck kannst du nun in 2 Teilflächen aufteilen

A=|A1|+|A2|  Betrag,weil beide Teilflächen unterhalb der x-Achse liegen

Integrationsgrenzen von A1  xu1=-7 und x1o=-1

Integrationgrenzen von A2 x2u=-1 und x2o=-1/3

Den Rest schaffst du selber

Infos,vergrößern und/oder herunterladen

Text erkannt:

\( f(x)=-x \)
\( f^{\prime}(x)=2^{2}+x \operatorname{sit} x=0-2 \) ersibe \( f(2)-2^{2}-4 \)

 ~plot~x^3-1;3*x+1;-1/3*x-7/3;[[-10|6|-10|10]];x=-7;x=-1;x=-1/3~plot~

Comments

Dankeschön :)

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Biieetaa schöön !

Answer 2

Hallo,

Ich weiß nicht ganz genau wie man hier vorgeht.

na zunächst mal, indem man sich eine Skizze macht. Zwei Funktionen \(f(x)\) und \(n(x)\) und eine Tangente \(t(x) = f'(-1)(x - x_0) + f(-1)\)

~plot~ x^3-1;(-x-7)/3;3(x+1)-2;[[-8|4|-4|2]];{-1|-2} ~plot~

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das die Tangente (grün) an den Graphen von f (blau) im Punkt P(x0|f(x0)) mit der Geraden n (rot) und der x-Achse einschließt.

Es gilt also die Fläche dieses Dreiecks zu bestimmen. Die Grundseite liegt zwischen den Schnittpunkte von \(n\) und \(t\) mit der X-Achse:$$\begin{aligned} n(x_1) &= 0 \\ 0 &= \frac 13\left( -x_1 - 7\right) \\ \implies x_1 &= -7 \\  t(x_2) &= 0 \\ 0 &= f'(-1)(x_2 - x_0) + f(-1) \\ 0 &= 3(-1)^2 (x_2 + 1) + (-1)^3 - 1 \\ 0 &= 3x_2 + 1 \\ \implies x_2 &= -\frac 13 \end{aligned}$$Die Spitze des Dreiecks ist der Schnittpunkt \((-1;\, -2)\) von \(n\) und \(t\) (prüfe, on dies der Schnittpunkt ist). Folglich ist die Höhe \(h\) des Dreiecks \(h=2\). Und seine Fläche \(F_{\triangle}\) ist $$F_{\triangle} = \frac 12 hc = \frac 12 \cdot 2\left(- \frac 13 - (-7)\right) = \frac {20}3$$Gruß Werner