Minimum eines Polynoms in (0,0)

Question

ich bin zurzeit am Üben, und beschäftige mich mit dieser Aufgabe: 

Ich habe hier jetzt mal die partiellen Ableitungen berechnet:

$$\frac { dp }{ dx } (x,y)=2(x+ay)$$$$\frac { dp }{ dy } (x,y)=2a(a^2y+x)$$

$$\frac { d^2p }{ dx^2 } (x,y)=2$$$$\frac { d^2p }{ dy^2 } (x,y)=2a^3$$$$\frac { d }{ dx }\frac { dp }{ dy } (x,y)=2a$$

Bei der zweiten partiellen Ableitung nach x, ist die Funktion ja nicht mehr abhängig von a. 
Bei der zweiten partiellen Ableitung nach y resultiert. $$\frac { d^2p }{ dy^2 } (x,y)=2a^3$$
Für (0,0) folgt also:

$\frac { d^2p }{ dy^2 } (0,0)=2a^3$ Für alle $a > 0$ würde also ein Minimum resultieren.

Aber ich bin mir da nicht so sicher. Wäre nett falls jemand helfen könnte.

lg

Answer 1

f(x, y) = x² + 2·a·x·y + a³·y²

f'(x, y) = [2·x + 2·a·y, 2·a·x + 2·a³·y]

f''(x, y) = [2, 2·a; 2·a, 2·a³]

det[2, 2·a; 2·a, 2·a³] > 0 --> a > 1

Comments

Super danke.

Ich hätte es wohl doch sofort mit der Hesse Matrix tun sollen.
Ich fasse nochmal zusammen
Für $det(H_p(x,y))$ folgt:
 $$=4a^3-4a^2$$ Hier kann man per einsetzten sehen, dass für $a=0$ und für$a=1$  kein Minimum folgt, und für $a<0$ sowieso nicht. Daher muss $a>1$ sein.

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Gerechnet habe ich jetzt mit dem Hauptminoren-Kriterium von Sylvester. Man kann aber auch die Eigenwerte der Hesse-Matrix bestimmen und schauen für welche Werte diese Eigenwerte alle größer als Null sind.

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Stimmt. Wenn man das mit dem Hauptminorenkriterium macht, bekommt man für:

 $H_1=2 > 0$und $H_2=det(H_p(0,0)) =4a^3-4a^2$wodurch mit  $a>1$ eben $4a^3-4a^2 >0$ folgt.
Somit sind für $a>1$ beide Hauptminoren positiv, allso ist die Matrix positiv definit, d.h es gibt gibt ein Minimum in $(0,0)$ (Wobei der Punkt (0,0) keine große Rolle spielt, da durch die partiellen Ableitungen die Funktion nicht mehr von x und y abhängig ist)
Danke nochmal ! :)