Question

Begründen Sie, dass α_v ein Element von (Rⁿ)∗ ist. Welcher Zeilenvektor in R^1xn entspricht α_v (unter der Identifkation (Rⁿ)^* =R^1xn)?

Kann mir jemand helfen ?

Answer 1

Um zu zeigen, dass a_v eine Linearform ist,

brauchst du nur zu zeigen, dass sie additiv

und homogen ist, das folgt sofort aus den

Eigenschaften des Skalarproduktes etwa so:

a_v ( u + w )  = < v, u+w > = < v,u > + < v,w>

Linearität des Skalarproduktes im 1. Argument.

Entsprechend auch die Homogenität.

Der Zeilenvektor ist ( a₁ , a₂ , ... , a_n ) ;

denn diese n Zahlen sind die Bilder der kanonischen

Basisvektoren des ℝⁿ .

b) Homomorphismus folgt wie bei a) aus den entsprechenden

Eigenschaften des Skalarproduktes.

Da beide Räume gleiche dim haben, brauchst nur noch z.B.  Kern( f_V ) = {0} zu zeigen.

Sei also v ∈ V und g die Linearform mit g(u) = < v,u> ,

die alles auf 0 abbildet, also < v,u> = 0 für alle u aus V, dann

ist auch < u,u> = 0 also u der 0-Vektor und damit  Kern( f_V ) = {0} gezeigt.