Für welche Werte wird die Fläche des Grundstücks maximal?

Question

Aufgabe:

Ein Grundstück soll aus einem Rechteck und einem - an einer beliebigen Seite - bündig angren- zenden Halbkreis bestehen. Der Umfang des Grundstücks soll 500 Meter betragen, die Fläche des Grundstücks soll maximal sein. Wie groß müssen die Seitenlängen des Rechtecks und der Kreisradius gewählt werden? 

Answer 1

Die Fläche ist (1) f(r)=2ra+πr²/2. Der Umfang ist (2) 500=2a+2r+πr.

(2) nach a auflösen und in (1) einsetzen. Nach r ableiten und Nullstelle der Ableitung bestimmen.

Answer 2

a : Seite ohne Halbkreis
b : Seite mit Halbkreis
U = 2 * a plus b plus b * π / 2
2  * a + b ( 1 +  π / 2 ) = 500
b = ( 500 - 2 * a ) /  ( 1 +  π / 2 )

F = a * b
F = a *  ( 500 - 2 * a ) /  ( 1 +  π / 2 )
F = 500 / ( 1 +  π / 2 ) * a  - ( 2 * a^2 ) /  ( 1 +  π / 2 )
F ´( a ) =  500 / ( 1 +  π / 2 )   -  ( 4 * a) /  ( 1 +  π / 2 )

500 / ( 1 +  π / 2 )   -  ( 4 * a) /  ( 1 +  π / 2 ) = 0
a = 125
b = 97.25