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Ich komme bei dieser Aufgabe gar nicht weiter. Ich weiß nicht wie ich Ln  ausrechnen soll. Wenn ich ich für P(n)   einsetzte weiß ich leider nicht wie ich weiter auflösen kann

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Ln=∑(k=1 bis n) |e^{ikx/n}-e^{i[k-1]x/n}|

=∑(k=1 bis n) |1-e^{-ix/n}|

=∑(k=1 bis n) |1-cos(x/n)+isin(x/n)|

=∑(k=1 bis n) √(1-cos(x/n)^2+sin(x/n)^2

=∑(k=1 bis n)

 √1-2cos(x/n)+COS(x/n)^2+sin(x/n)^2

=∑(k=1 bis n) √2-2cos(x/n)

=∑(k=1 bis n)√4sin^2(x/(2n))

=∑(k=1 bis n) 2|sin(x/(2n))|

=2n|sin(x/(2n))|

b) ziehe den Limes unter den Grenzwert und verwende die Taylor Entwicklung des Sinus.

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Vielen Dank :) Geht b auch ohne die Taylor Entwicklung? Diese haben wir leider noch nicht behandelt

Verwende z.B die Abschätzung

-x/(2n)<=sin(x/(2n))<=x/(2n)

hallo

∑(k=1 bis n) 2|sin(x/(2n))|

=2n|sin(x/(2n))|

warum haben Sie hier so geschrieben ?

ich kann das leider nicht verstehen :(

∑(k=1 bis n) 2|sin(x/(2n))|

Im Summanden taucht die Summationsvariable k nicht auf (n ist eine Konstante). Daher kann 2|sin(x/(2n))| als Faktor vorgezogen werden.

∑(k=1 bis n) 2|sin(x/(2n))

=|2|sin(x/(2n))| * ∑(k=1 bis n) 1

Die letzte Summe ist leicht abzählbar ;).

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EDIT(Lu): habe die Fragestellung von Bango zu einer Antwort gemacht, damit sie nicht aus Versehen entfernt wird. (Grund: Zumindestens andere Buchstaben und zudem viele Nachfragen) 

Vom Duplikat:

Titel: Beweis eines trigonometrischen Ausdruck

Stichworte: sinus,funktion,vereinfachen,term

ich sitze nun schon Stunden vor dieser wohl eher einfachen Aufgabe, habt ihr da eine Idee?Unbenannt.png

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Danke.

Ich habe aber mal zwei Frage und zwar, was hast du in der ersten zur zweiten Zeile umgeformt?

Du hast bestimmt das zweite e auseinandergezogen  und dann mit dem erste ausgeklammert richtig? Aber wo ist dieses ausgeklammerte e?


In der vorletzen Zeile steht aufeinmal ein 2n, wo kommt aufeinmal das n her?

In der ersten zur zweiten Zeile wurde e^{ikx/n} ausgeklammert. Dann kannst du das mit dem Betrag als Faktor rausziehen und ausnutzen, dass |e^{ikx/n}|=1 ist.

Das n am Ende kommt durch die Summe. Wenn man von k=1 bis n summiert, so entspricht dies n Summanden. Und da die Summanden unabhängig von k sind kommt einfach n*(dem Term unter der Summe) raus.

Aber warum ist das denn 1? Wie kann man sich dies erklären?

e^{ikx/n} ist eine Zahl auf dem Einheitskreis der komplexen Ebene.

Gemäß eulerscher Identität und trigonometrischen Pythagoras ist

|e^{ikx/n}|=|cos(ikx/n)+isin(kx/n)|

=√cos^2(ikx/n)+sin^2(ikx/n)

=1 

Damit ist die Frage beantwortet?

Bis auf das i im Cosinus, macht es Sinn.

Müsste es nicht eigentlich cos(kx/n)+i sin(kx/n) lauten?

Genau, in dem Referenzlink ist es richtig gerechnet worden.

Also darf ich die geometrischen Eigenschaften (sin^2+cos^2 =1) trotz des i vor dem sin nutzen?

Das würde nämlich alles erklären, wusste nämlich bicht, dass so etwas geht.

Das entspricht der Betragsberechnung für komplexe Zahlen. Da gilt \( | z | = | x + i y | = \sqrt{x^2 + y^2} \)

Hier ist \( x = \cos \left( \frac{k x }{n} \right) \) und \( y = \sin \left( \frac{k x }{n} \right) \)

Überhaupt darf im Argument von \( \sin() \) und \( \cos() \) nie ein \( i \) stehen, was bei jc2144 aber mehrmals der Fall war. Ich gehe davon aus, dass das Schreibfehler waren.

Ja da hab ich zu viel copy and paste gemacht, das i gehört nicht in COS und sin rein :)

(Sonst wäre ja COS(ikx/n)=cosh(kx/n))

Ok

Also folgt nun: cos(2k/n)+isin(2k/n) = sqrt(cos^2(2k/n)+sin^2(2k/n)) = sqrt(1) = 1

Quatsch. Einmal fehlen wohl auf der linken Seite die Betragsstriche und zum anderen stimmen die Argumente nicht.

Ja die Betragssstriche fehlen. Aber wenn das alles Quatsch ist, wie wird dies dann 1?

Das ist nicht alles Quatsch. Nur die Betragsstriche haben gefehlt und Du hast die falschen Argumente eingesetzt. Es gilt aber immer \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)

Ach ok, also wird dann ersteinmal aufsummiert um das k/n loszuwerden.

Ich bedanke mich:)

Hallo jc2144, ich würde mich hier nun gerne einmal einmischen, denn ich muss die selbige Aufgabe lösen und verstehe deine Rechnung nicht ganz.

Das Dünngedruckte ist klar, das Dickgedruckte nicht.

"

Ln=∑(k=1 bis n) |eikx/n-ei[k-1]x/n|

=∑(k=1 bis n) |1-e-ix/n|

=∑(k=1 bis n) |1-cos(x/n)+isin(x/n)|

=∑(k=1 bis n) √(1-cos(x/n)2+sin(x/n)2

=∑(k=1 bis n)

√1-2cos(x/n)+COS(x/n)2+sin(x/n)2
   Wie kommt man hier auf 2*cos(x/n) ?

=∑(k=1 bis n) √2-2cos(x/n)  Darf man hier die geometrische Eigenschaft  cos(x/n)2+sin(x/n)2 = 1 überhaupt anwenden?

=∑(k=1 bis n)√4sin2(x/(2n))

=∑(k=1 bis n) 2|sin(x/(2n))|

=2n|sin(x/(2n))|

"


Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen, ist aber auch eine komplizierte Aufgabe xD.

Hi,

in der Zeile vor der ersten fett gedruckten Zeile steht doch in der Summe \( |1 - e^{i \frac{x}{n}} | \) und das ist doch \( \sqrt{ \left(1 - \cos \left( \frac{x}{n}  \right) \right)^2 + \sin^2 \left(\frac{x}{n} \right) } \) Die erste Klammer nach der Binomischenformel ausmultiplizieren ergibt u.a. den Term \( 2 \cos\left(  \frac{x}{n} \right) \)


Warum sollte man \( \cos^2 + \sin^2 = 1 \) nicht verwenden dürfen?

Hi!

Ach da steht ja  (1-cos(x/n))^2, dann macht es natürlich sinn.

Dann eine andere Frage, warum steht nur (1-cos)^2 in Klammern und nicht der sin? 

Warum soll das in Klammern stehen? Das ist doch keine Summe oder ähnliches!

Aber warum dann (1 - cos)^2 und nicht 1^2-cos^2? Verstehst du auf was ich hinnaus möchte? :)

Der Betrag einer komplexen Zahl \( z \) berechnet sich ganz allgemein zu \( \sqrt{ \Re^2(z) + \Im^2(z)  } \), dass sollte eigentlich bekannt sein. Der Realteil von \( z = 1 - e^{ i \frac{x}{n}} \) ist \( \Re(z) = 1 - \cos \left(  \frac{x}{n} \right) \) und der Imaginärteil ist \( \Im(z) = \sin\left( \frac{x}{n} \right)  \)

Jetzt solltest Du es verstehen. Ansonsten fehlen Dir definitv Basisgrundlagen, die Du erstmal erarbeiten müsstes, bevor wir hier weiter machen.

Das acht nun SINN.

Also ich verstehe ja schon alles, nur benutzt man diese Dinge zu selten und kennt daher nur die einfachen Umformungen.

Hallo nocheinmal.

Ich habe nun alles verstanden bis auf diese Zeile hier:

=∑(k=1 bis n)√4sin2(x/(2n))

=∑(k=1 bis n) 2|sin(x/(2n))|

Wie kommt man auf sin^2 und wo kommt die 2 im Nenner her?

Man geht ja von dieser Eigenschaft hier aus cos(x) + sin(x)=1

Sry ich meinte diese Zeilen hier

=∑(k=1 bis n) √2-2cos(x/n)

=∑(k=1 bis n)√4sin2(x/(2n))

Also ich habe mir nun alles dazu durchgelesen und finde den Trick einfach nicht:(

Das ist ein trigonometrischer Zusammenhang:

siehe unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Sinus

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