0 Daumen
321 Aufrufe

Aufgabe:

θ∈[0,2π] 

Wir wissen Länge des Einheitskreisbogens von 1 bis e ist gleich θ.

Wissen Begründung den Kreisbogen durch einen polygonzug annähert.

ZZ:

\( \lim\limits_{N\to\infty} \) \( \sum\limits_{n=1}^{N}\) | ein(θ/N) - ei(n-1)θ/N | = θ


Wie kann ich den Betrag vereinfachen…

Avatar von
Wie kann ich den Betrag vereinfachen…

Indem Du den Faktor \(\exp(i(n-1)\theta /N)\) ausklammerst - auch aus dem Betrag

Danke für den Hinweis, schaffe es allerdings nicht.

Ich habe es mal für n=1 berechnet und dann komme ich auf

| ei*(θ/1) - ei*0*(θ/1) |

| ei*θ -e0 |

| 1-1|

0=θ

Das bekomme ich auch für n=2 heraus usw

Ich bin echt verzweifelt und komme nicht weiter ich habe es aus mit dem ln versucht.

Wie kommst Du denn auf die erste 1 in |1-1?|

1 Antwort

0 Daumen

Also es geht so:

$$|\exp(in\theta /N)-\exp(i(n-1)\theta/N)|=|\exp(i\theta /N)-1)\exp(i(n-1)\theta/N)|=|\exp(i\theta /N)-1| \cdot 1$$

Wir benutzen dann die Taylorentwicklung von exp um den Nullpunkt und erhalten:

$$|\exp(i\theta /N)-1| =\theta/N+R$$

mit

$$|R|\leq |\exp(i\theta /N)-1-i\theta/N=| \frac{\theta^2}{N^2}\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k!} \left(\frac{\theta}{N}\right)^{k-2}|\leq \frac{const}{N^2}$$

Damit liefert die Summe in der Aufgabenstellung den Wert \(\theta\) mit dem Rest \(NR\), der wie 1\N gegen 0 geht.

Gruß Mathhilf

Avatar von 13 k

Die Taylorentwicklung hatten wir noch nicht in der VL.

Auf die erste 1 komme ich da wie e so definiert haben.

Wie habt Ihr \(e^{i\theta}\) definiert? Oder allgemeiner \(e^z\) für eine komoplexe Zahl z?

e = cos θ + i sin θ haben wir so definiert

Dann sehe ich zwar noch nicht, wie Du oben 1-1 erhalten hast.

Aber das eigentliche Problem bleibt ja die Abschätzung. Da sehe ich nicht, wie man ohne Taylor-Entwicklung weiterkommen kann.

Gruß Mathhilf

Hallo,

es geht doch einfacher, ich hatte nicht bedacht, dass ja der Summand nach Ausklammern gar nicht mehr von n abhängt die Summe ist also einfach Folgendes ist

$$N |\exp(i\theta/N)-1|=\theta |\frac{\exp(i \theta/N)-1}{i \theta/N}| \to \theta$$

Denn der Term in den Absolutstrichen, ist gerade der Differenzenquotient für die Ableitung der exp-Funktion im Nullpunkt.

Gruß Mathhilf

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community