Aufgabe zu einem Markov Prozess

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Hallo,

ich habe wieder mal Probleme eine Aufgabe zur Markovprozessen zu lösen und hoffe das ihr mir weiterhelfen könnt.

Sei $$(X_k)_{k\in \mathbb N}$$ eine Familie identisch verteilter unabhängiger  $$ \{-1,1\} $$ - wertiger Zufallsvariablen:

$$ P(X_k=1) = p \quad \quad P(X_k=-1)=1-p=: q \quad , k \geq 1 \quad , p \in [0,1] $$

p+q=1. Wir setzten S_0=0 und $$ S_n= \sum_{i=1}^n X_i $$


(1) Zeigen Sie, dass

$$ p_{n+1,k}:= P(S_{n+1}=k|S_0 =0)= p \cdot p_{n,k-1} + q\cdot p_{n,k+1} ,\quad  p_{0,0=1} , \quad p_{0,k}=0 \quad k\neq 0$$  

Ich kann die Definition einsetzten, sehe aber dann nicht wie ich weiter machen soll.


(2) n+k gerade und |k| kleinergleich n

$$ \begin{bmatrix} n+1 \\ (n+k+1)/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n \\ (n+k-1)/2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n \\ (n+k+1)/2 \end{bmatrix} $$ hier weiß gar nicht weiter..


(3) Daraus soll man jetzt folgendes schließen

$$ p_{n,k} = 0 , \quad n+k  \hbox{ungerade oder |k|> n} $$

$$p_{n,k} = \begin{bmatrix} n \\ (n+k)/2 \end{bmatrix} p^{(n+k)/2} (1-p)^{(n-k)/2}  \quad n+k  \hbox{gerade und |k|< n} $$


Soll die Gleichung in (1) und die Randbedingungen erfüllen.


Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen


Gruß

Sabrina

Gefragt 15 Jul von Sabbse92

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