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ich habe eine Mitschrift mit einem lgs,

aber ich habe vergessen wie man das nochmal löst...

Kann einer mir erklären wie ich auf die Lösung komme?

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Hallo NumeroUno! :-)

Eine Möglichkeit ist, die Koeffizientenmatrix in die Treppennormalform zu bringen. Dann kannst Du die Lösung direkt ablesen.

Beste Grüße
gorgar

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[5, 2, 14]
[15, 6, 42]
[-5, -3, 21]

II / 3

[5, 2, 14]
[5, 2, 14]
[-5, -3, 21]

II - I ; III + I

[5, 2, 14]
[0, 0, 0]
[0, -1, 35]

-y + 35·z = 0 --> y = 35·z

5·x + 2·(35·z) + 14·z = 0 -->x = - 84/5·z

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eine Möglichkeit ist, die Koeffizientenmatrix per Gaußalgorithmus in die Treppennormalform zu bringen.

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Beste Grüße
gorgar

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wie kommst du in der letzten Zeile auf -1 ? :D

Die Lösungsmenge ist a(84/5, -35, -1). Es gibt unendlich viele Lösungen, Du kannst a beliebig wählen. Die -1 sorgt dafür, dass immer (0,0,0) rauskommt, egal wie das a gewählt wird. :D

$$  \begin{pmatrix}5 & 2 & 14\\ 15 & 6 & 42\\ -5 & -3 & 21\end{pmatrix} \cdot a \cdot \begin{pmatrix}\frac{84}{5}\\ -35\\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 2 & 14\\ 15 & 6 & 42\\ -5 & -3 & 21\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{84a}{5}\\ -35a\\ -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5 \cdot 84a }{5}-2 \cdot 35a-14a\\ \frac{15 \cdot 84a }{5} - 6 \cdot35a -42a\\\frac{-5 \cdot 84a }{5} + 3 \cdot 35a -21a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 84a-70a-14a\\ 252a - 210a -42a\\ -84a+105a-21a \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a(84-70-14)\\ a(252- 210 -42)\\ a(-84+105-21) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot 0 \\ a \cdot 0 \\ a \cdot 0  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0  \end{pmatrix} $$

richtig man kann ja z=1 auch setzten oder?

da würde man auch gleich null rauskriegen.

Na, das glaube ich jetzt einfach mal nicht. :D
Da kommt dann nämlich (28, 84, 42) ≠ (0,0,0) raus.
Rechne doch nach.

wenn ich z=1 setzte kommt auch null raus...

5*84/5*1-2*35*1-14*1 = 0

und bei den anderen 2 Gleichungen auch ...

wieso geht das dann nicht ? :)

5*84/5*1-2*35*1-14*1 = 0

Da hast Du  z = -1 gesetzt. x, y sind von z abhängig, da kannst Du nicht einfach nur das z ändern.

ah du hast recht.

aber wie bist du jetzt nochmal darauf gekommen das man z=-1 wählen muss damit die Gleichung erfüllt ist ?

Muss man gar nicht, z ist hier frei wählbar. Gern führt man einen freien Parameter ein. Hier a = z:

$$\vec{\lambda} = \begin{pmatrix}-\frac{84}{5} z \\ 35 z \\ z\end{pmatrix}  = z\begin{pmatrix}-\frac{84}{5} \\ 35 \\ 1\end{pmatrix} \\z = a \\\vec{\lambda} = \begin{pmatrix}-\frac{84}{5} a \\ 35 a \\ a\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}-\frac{84}{5}\\ 35 \\ 1\end{pmatrix}$$

Damit kannst Du die z-Komponente im Lösungsvektor selbst bestimmen(x, y ändern sich dann wegen der Abhängigkeit von z auch). Wir hatten das mal so gelernt, die -1 einzusetzen, seitdem habe ich das so übernommen.

{{5, 2, 14}, {15, 6, 42}, {-5, -3, 21}}.{-84a/5, 35a, a}

Ihr habt es offensichtlich auch so gelernt(bzw. eventuell einige von euch :D), bei Dir steht ja λ3 = -1 ;-)

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