Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung lösen

Question

Wie gehe ich da vor ? Ich kenne es nur mit Anfangswertproblem, also y(a)=b gegeben ist.

Ich danke euch

Answer 1

Diese DGL löst Du mit dem Vefahren "Variation d. Konstanten".

Answer 2

y '   -  2 * y  =  cos(2x)  

Da nur eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung gesucht ist, kannst du direkt einen Ansatz gemäß folgender Tabelle  (Seite 1 unten) benutzen:

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

hier:  Ansatz  y  =  a * sin(2x) + b * cos(2x)  

Ableiten:

y ' =  2a cos(2x) - 2b sin(2x)

in DGL  einsetzen:  

2a cos(2x) - 2b sin(2x)  -  2 * ( a sin(2x) + b cos(2x) ) = cos(2x)

links zusammenfassen:

(2a - 2b) * cos(2x) - (2b+2a) * sin(2x)  =  cos(2x)  

Koeffizientenvergleich ergibt dann die spezielle Lösung:

2a-2b  = 1   und   - (2b+2a)  = 0   ;   LGS  →    a = 1/4  und  b = - 1/4  

Spezielle Lösung:  y =  1/4 sin(2x) - 1/4 cos(2x)  

Gruß Wolfgang