Gültigkeit einer Formels mittels vollständiger Induktion zeigen

Question

könnt ihr mir eine Idee geben, wie ich die Gültigkeit folgender Formel beweisen kann?

$$\sum _{n=1}^{2N}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{N+n} \forall N\in\mathbb{N}$$

Mein Ansatz wäre, die Formel für alle geraden und alle ungeraden natürlichen Zahlen zu beweisen.

Kann man es auch allgemein zeigen? Danke schonmal

Answer 1

Hallo zunder! :-)

Ja, man kann es allgemein zeigen. Zeige, dass die Formel für ein n₀ = 1 gilt. Damit hast Du den Induktionsanfang. Die Induktionsvoraussetzung ist dann, dass die Formel für ein N >= 1 gilt. Aus der Induktionsvoraussetzung folgt dann die Gültigkeit der Formel für N+1 in beiden Summen,
Standardvorgehensweise also.

Beste Grüße
gorgar

Comments

Danke, das Prinzip der vollständigen Induktion war mir schon klar, aber ich bin beim Umformen einfach nicht weitergekommen.