Sei \(N\subset M\) beliebig und endlich. Aufgrund der Endlichkeit schreiben wir \(N=\{n_1,...,n_k\}\) für ein \(k\in \mathbb{N}\).
Ich nehme mal an, dass in der Aufgabe \(N\neq \varnothing\), vergessen wurde, denn offensichtlich hat die leere Menge kein (größtes/maximales) Element. Also ist \(k\geq 1\) anzunehmen.
Induktionsanfang \(k=1\): Klar, im Falle \(N=\{n_1\}\) ist das größte Element offensichtlich \(n_1\).
Induktionshypothese: Sei \(k\geq 1\) fest. Dann besitzt jede Menge \(N=\{n_1,...,n_t\}\subseteq M\) mit \(1\leq t\leq k\) ein größtes Element \(n_{max}\in N\).
Induktionsschritte \(k\rightarrow k+1\): Wir betrachten die Menge \(N'=\{n_1,...,n_{k+1}\}\subseteq M\).
Nach Induktionshypothese gibt es für die Menge \(N=\{n_1,...,n_k\}\subseteq N' \subseteq M\) ein größtes Element \(n_{max}\in N\).
Für dieses gilt zum einen nach Definition \(\forall n\in N: \ n \ R \ n_{max}\).
Da \(R\) total ist, gilt insbesondere \(n_{k+1} \ R \ n_{max}\) oder \(n_{max} \ R \ n_{k+1}\).
Im ersten Fall gilt dann offensichtlich \(\forall n\in N': \ n \ R \ n_{max}\). Also wäre \(n_{max}\) maximal in \(N'\).
Im zweiten Fall gilt wg. der Transitivität der Ordnung dann \(\forall n\in N': \ n \ R \ n_{k+1}\). Also wäre \(n_{k+1}\) maximal in \(N'\).
In beiden Fällen gibt es offenbar ein größtes Element in \(N'\) bezüglich \(R\).
