Was heißt Matrizen transponieren? A->At

Question

Hallo ich habe eine kleine Verständnisfrage,

ich weiß man kann mit der Diagonalen die Matrix z.B. eine 3x3 transponieren... so z.B

und das wird dann zu:

Ok aber was heißt das für die Praxis? was macht man da genau? Die Determinante ändert sich ja auch nicht, also wieso macht man das?

mfg.

Answer 1

 

Du kannst damit verschiedene Sachen prüfen. Z.B. ob eine Matrix $A$ orthogonal ist. Dann gilt nämlich $A^TA=AA^T=I$, wobei $I$ die Einheitsmatrix ist. Außerdem kannst Du damit zeigen, dass eine Matrix symmetrisch ist. Dann ist $A^T=A$. Manchmal dient das Transponieren auch einfach der Ästhetik, um Spaltenvektoren in einer Zeile zu schreiben (oder umgekehrt). Es wäre dann z.B. $\left(\begin{matrix}1\\2\\\vdots\\ n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&2&...&n\end{matrix}\right)^T$. Es gibt noch einige andere Anwendungen und Zusammenhänge, die Du im Laufe eines Kurses in Linearer Algebra erkennen wirst. Du wirst sehen, dass alles wie in einem riesigen Uhrwerk ineinandergreift ... einfach herrlich:-)

André

Comments

achso ok... dann kommt alles noch später aber wie es aussieht brauch ichs grad nur um die orthogonalität zu prüfen...  das mit A^T A= E -> bei dir I.

ty man 

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You're welcome! Genau, zum Prüfen, ob $A$ orthogonal ist, zeigst Du dann einfach $AA^T=A^TA=E$.

Answer 2

man kann jede Matrix transponieren, auch nicht quadratische Matrizen. In der Praxis werden die Einträge der Matrix einfach an der Hauptdiagonale "gespiegelt".

Ein Beispiel:

$${\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 5 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}}^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & 7 \end{pmatrix}$$

Mit der Transponierten $A^T$ von $A$, kann man z.B. bestimmte Matrizen klassifizieren:

symmetrische Matrizen $A=A^T$, orthogonale Matrizen  $A*A^T=E$, wobei E die Einheitsmatrix ist.

Diese Klassen haben dann bestimmte Eigenschaften, die man sich beispielsweiße bei der numerischen Lösung eines LGS zu Nutze machen kann.

Gruß