Spieler A und B. Mit welcher Wahrscheinlichkeit geht B pleite?

Question

Zwei Spieler A und B. A hat 20 Geldstücke, B hat 16. Es werden n Runden gespielt und A hat für jede Runde eine Wahrscheinlichkeit von 55% zu gewinnen. Gewinnt A, bekommt es ein Geldstück von B und umgekehrt. Das Spiel wird so lange wiederholt bis einer von beiden pleite Ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit geht B zuerst pleite? Danke.

Answer 1

das "Setting" klingt sehr stark nach dem Spieler-Ruin-Problem. Ich habe mich im Rahmen einer anderen Fragestellung schone einmal hier damit im Forum beschäftigt (siehe: https://www.mathelounge.de/449242/zufallsexperiment-markov-kette). Die Wahrscheinlichkeit, dass \(B\) zuerst keine Geldstücke mehr hat, entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass \(A\) gewinnt und die Wahrscheinlichkeit dafür ist: $$P(A)=\frac{1-\left(\frac{q}{p}\right)^a}{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}}$$ Es ist \(p\) die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn von \(A\) in einer Runde und \(q=1-p\) die Wahrscheinlichkeit, dass \(B\) in einer Runde gewinnt. \(a\) ist das Startkapital von \(A\) und \(b\) entsprechend das von \(B\). Mit \(p=0.55\), \(q=1-p=1-0.55=0.45\), \(a=20\) und \(b=16\) gilt. $$P(A)=\frac{1-\left(\frac{0.45}{0.55}\right)^{20}}{1-\left(\frac{0.45}{0.55}\right)^{20+16}}\approx 0.9826$$ D.h. \(B\) wird mit einer Wahrscheinlichkeit von \(98.26\%\) als Pleitegeier aus dem Spiel scheiden (siehe: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1-(0.45%2F0.55)%5E(20))%2F(1-(0.45%2F0.55)%5E(20%2B16))).

André