Zufallsexperiment, Markov-Kette

Question

Hallo zs,

ich tue mir bei einer Aufgabe schwer und hoffe das ihr mir weiterhelfen könnt. 

Zwei Spieler A und B speilen eine Folge von unabhängige Glücksspiele, bei denen jeweils Spieler A mit Wahrscheinlichkeit p und Spieler B mit Wahrscheinlichkeit q=1-p gewinnt. Der Gewinner erhält eine Einheit von dem Verlierer. Das Spiel ist solange fortgesetzt, bis einer der Spieler kein Geld mehr hat. Zu Beginn besitze Spieler A, a Einheiten und Spieler B,  b Einheiten. Das Gesamtkapital ist also a+b. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass am Ende Spieler A gewinnt. 

Sei für $$n\geq 0, X_n$$ das Kapital von Speiler A am n-ten Spiel. Es ist also X_0=a . Im Verlauf des Spiels ist also $$X_n=c , \quad 0\leq c\leq a+b$$. 

Seien G (bzw. V) die Ereignisse, dass am Ende A gewinnt (bzw. am Ende A verliert), und bezeichne

$$p_c:=\mathbb P(G| X_n=c).$$

(also p_c hängt von n nicht ab). Weiter, ist p_0=0 und $$p_{a+b}=1$$.

Zeigen Sie

$$ p_c=p\cdot p_{c+1}+q\cdot p_{c-1}\ .$$

Zeigen Sie

$$ p(p_{c+1}-p_{c})=q(p_{c}-p_{c-1}) $$

Im Fall $$p=q=\frac{1}{2}$$, zeigen Sie:

$$ p_a=\frac{a}{a+b} $$

Erste Teilaufgabe: Ich sehe nicht, wie ich die Definition für p_c weiter vereinfachen soll um auf das gewünschte Resultat zu kommen. Bei den anderen Aufgaben habe ich gar keine Idee...

Answer 1

 

ich fasse noch einmal zusammen: gegeben sind der Spieler \(A\) mit dem Startkapital \(a\) und Spieler \(B\) mit dem Startkapital \(b\). Wir definieren folgende Gewinnwahrscheinlichkeit pro Spiel: $$P(\text{A gewinnt})=p\\P(\text{B gewinnt})=1-p=q$$ Gewinnt \(A\), so bekommt er eine Einheit von \(B\) und umgekehrt. \(A\) und \(B\) spielen so lange, bis einer von beiden pleite ist, korrekt? Gesucht ist nun also die Wahrscheinlichkeit, dass \(A\) gewinnt, d.h. \(B\) pleite geht, d.h. $$P_c(A)=p_c$$ Das Gesamtkapital beträgt $$r=a+b$$ Die Wahrscheinlichkeit, dass \(A\) gewinnt, wenn \(A\) \(c\) Einheiten hat, ist: $$P_0(A)=0\text{ (\(A\) ist pleite)}\\P_r(A)=1\text{ (\(B\) ist pleite)}$$

Wir definieren (mit \(0\lt c\lt r\)): $$A:\text{ \(A\) gewinnt insgesamt}\\A_g:\text{ \(A\) gewinnt 1. Spiel}\\A_v:\text{ \(A\) verliert 1. Spiel}$$ Nun folgt meine Antwort auf Deine erste Frage: $$P_c(A)=P_c(A\cap A_g)+P_c(A\cap A_v)=P_c(A_g)\cdot P_c(A\mid A_g)+P_c(A_v)\cdot P_c(A\mid A_v)\\=p\cdot P_{c+1}(A)+q\cdot P_{c-1}(A)=p_c=p\cdot p_{c+1}+q\cdot p_{c-1}$$ Nun folgt meine Antwort auf Deine zweite Frage mit \(0\lt c\lt r\): Wir wollen zeigen, dass $$p_{c+1}=p_c+(p_c-p_{c-1})\cdot\dfrac{q}{p}$$ $$p\cdot(p_{c+1}-p_c)=q\cdot(p_c-p_{c-1})\\\Leftrightarrow p\cdot p_{c+1}-p\cdot p_c=q\cdot p_c-q\cdot p_{c-1}\\\Leftrightarrow p\cdot p_{c+1}+q\cdot p_{c-1}=q\cdot p_c+p\cdot +p_c=(q+p)\cdot p_c=p_c$$ Zuletzt meine Antwort auf Deine letzte Frage. Dazu noch etwas Vorarbeit. Sei $$d_c=p_{c+1}-p_c\Leftrightarrow p_{c+1}=p_c+d_c\text{ mit }c=0, 1, ..., r-1$$ Wir erhalten: $$p_1=d_0, p_2=d_0+d_1, p_3=d_0+d_1+d_2, ..., p_r=d_0+d_1+...+d_{r-1}=1$$ Es ist also $$p_c=\sum_{i=0}^{c-1}{d_i}$$ Für \(p=q=\dfrac{1}{2}\) gilt: $$d_c=p_{c+1}-p_c=(p_c-p_{c-1})\cdot\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}}=p_c-p_{c-1}=d_{c-1}$$ D.h. alle \(d_c\) sind gleich. $$1=d_0+d_1+...+d_{r-1}\\\Longrightarrow d_j=\dfrac{1}{r}\\\Longrightarrow P_c(A)=c\cdot \dfrac{1}{r}=\dfrac{c}{r}$$ Mit \(c=a\) und \(r=a+b\) (siehe meine Definition oben) folgt direkt: $$P_a(A)=p_a=\dfrac{a}{a+b}$$ Hilft Dir das weiter? Ich hoffe, dass ich mich nirgends verschrieben habe.

Liebe Grüße

André

Comments

Vielen Dank für deine Mühe. Du hast mir mit deiner Antwort sehr weiter geholfen. 

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Könntest du folgenden Schritt nochmal näher erklären

- erste Teilaufgabe 

$$ P_c (A) = P_c (A \cap A_g) + P_c (A \cap A_v) $$

Warum ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass A bei c-Einheiten insgesamt gewinnt aus dieser Summe?

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Ich stellt mir das wie folgt als Venn-Diagramm vor:

Bedenke dabei, dass \(0\lt c\lt r\). Mit dieser Überlegung kommst Du auf das, was Du zeigen willst/musst.
André