Taylorpolynom, Begründung, dass bei Funktion 3. Grades Taylorpolynom dritten Grades exakt gleich?

Question

Wenn man ein Taylorpolynom 3. Grades bestimmen muss und die gegebene Funktion ist schon eine Funktion 3. Grades, dann kommt doch als Taylorpolynom wieder die Ausgangsfunktion raus  oder?

Gibt es dazu eine Beweis oder eine Begründung?

Answer 1

Hallo Probe,

f(x) = ax³ + bx² + cx + d 

f '(x) = 3ax^2 + 2bx + c

f "(x) = 6ax + 2b

f '''(x) = 6a 

Mit Entwicklungspunkt x₀ = 0 :

T₃(f,x,0)  =   \(\sum\limits_{k=0}^{3} \)  f^(k)(0) / k! · x^k 

T₃(f,x,0)  =  d/0! ·x⁰ + c/1! · x¹ + 2b/2! · x² + 6a/3! · x³  

             =   d + c·x + b·x² + a·x³  = f(x)   

Mit einem beliebigen Entwicklungspunkt x₀ = u kannst Du das genauso nachrechnen. Es ist allerdings wegen der Klammerauflösung deutlich mehr zu rechnen.

T₃(f,x,u)  =   \(\sum\limits_{k=0}^{3} \)  f^(k)(u) / k! · (x - u)^k 

Gruß Wolfgang

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Gern geschehen Du Nachteule :-)