Binomischer Lehrsatz, Beweis einer Gleichung

Question

Hallo. Ich soll beweisen:
(n | k) = (n | n-k), dabei steht | für Zeilenumbruch, (n | k) := Π_(j=1)^{k} (n-j+1)/j und n ist Element der natuerlichen Zahlen und k ist Element der ganzen Zahlen.

Ich muss also beweisen:
1) n=k
2) n < k
3) n > k

Die ersten Beiden Faelle habe ich geschafft. Ich habe Problem mit dem Letzten. Ich muss im Prinzip zeigen, dass

(n(n-1)(n-2)*...*(k+1)) / (1*2*3*...*(n-k)) = (n(n-1)(n-2)*...*(n-k+1)) / (1*2*3*...*k) für n > k wahr ist und da komme ich nicht weiter. Ich bitte Euch deshalb um Hilfe.

Answer 1

(n | k) = n! / (k!·(n - k)!)

(n | n-k) = n! / ((n-k)!·(n - (n-k))!)
(n | n-k) = n! / ((n-k)!·k!)

Und das ist doch jetzt ganz exakt das was auch zuvor für (n | k) dort stand.

Für n < k bekommst du aber Schwierigkeiten weil dort (n - k)! Probleme bereitet, wenn n-k negativ wird.

Comments

Die Aufgabe war sehr einfach. Ich weiss nicht, warum ich darauf nicht gekommen bin, ich habe sogar eine ähnliche Aufgabe gemacht in der letzten Zeit.

n < k ist ja kein Problem, da (n | k) := 0 für k < 0 (so wuerde es definiert, ich nenne es Def. A) .

(n | k) = 0, weil:

Irgendein j muss um eins groesser sein als n, deshalb (n-(n+1)+1)/(n+1) = 0 / (n+1) = 0. Also wir haben eine Null mit der wir den Rest multiplizieren also insgesamt 0.

(n | n-k) = 0, weil:

n-k ist negativ (wegen n<k) also ist laut Def. A (n | n-k) = 0.

Insgesamt also (n | k) = (n | n-k) für n<k.