Z=√(5+12i) alle Wurzeln bestimmen

Question

Hi,

Z=√(5+12i) 

ich hänge hier bei der Aufgabe am Winkel berechnen.. mit den 12/5 kann ich nichts anfangen ..oder ist muss ich mit √12/√5 rechnen?

Answer 1

Comments

Habe keinen Taschenrechner für die Aufgabe. Kann ich den Winkel durch geschicktes umstellen noch bisschen cooler darstellen?.. So, dass ich auf ein Vielfaches von pi komme ..?

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Variante 2 : (ohne Rechner)

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Wow! Das sehe ich mir morgen mit neuer Motivation an. Lustig, dass man hier mit Binomischen Formeln rechnen kann. :-)

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Ohne Rechner schön gemacht! Daumen von mir.

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Dass sich in Variante 2 "schöne"  Zahlen für a und b ergeben, ist natürlich ein Sonderfall.

Es könnte sich z.B. auch so etwas ergeben (kleiner Rechenfehler oder andere Zahlen in der Aufgabe genügen :-)):

z_1/2 = 5/2 ± √(170/4)  und damit
b = ± √( 5/2 ± √(170/4) )  ;  a = ± 6 / √( 5/2 ± √(170/4) )

Wenn schon jemand auf die abstruse Idee kommt, so etwas ohne Taschenrechner zu verlangen, kann man mit gleicher Berechtigung in den Formeln

  z₁ =  √r · e^{i · arccos(x/r) /2}    und    z₂ = √r · e^{i · (arccos(x/r) /2 + π)}  

für die beiden Wurzeln für  genaue Lösungen auch einfach die Werte für x und r stehenlassen, wenn sich keine "schönen" Zahlen ergeben.

[ Die beiden Formeln gelten für √(x+yi) mit  b≥0 . Für b<0 muss es  - arccos(x/r) heißen ]

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Danke Wolfgang, in solchen Fällen die Formel stehen lassen ist erlaubt. Dabei muss man sich nur sicher sein, nichts übersehen zu haben, obwohl es dann trotzdem nicht ganz falsch gewesen wäre.

Answer 2

alternative Lösung:

z=√(5+12i)

--->

z^2=5+12i

(a+ib)^2=5+12i

a^2+2iab-b^2=5+12i

Koeffizientenvergleich:

a^2-b^2=5

2ab=12  , ab=6

a^2 b^2-b^4=5b^2

36-b^4=5b^2

0=b^4+5b^2-36

0=x^2+5x-36

x=-9 , x=4

b^2=x ---> b1=2, b2=-2

---> a1=3 , a2=-3

PS: ich sehe gerade, dass dieser Lösungsweg bereits in einem Kommentar eingeschlagen wurde