Übliche Lösung von ff. Differenzialgleichung

Question

Rechenweg: dx/dt - 5tx = 2t

und Integral durch (t,x) = (0,1) ; gibt es hier eine besondere lösung?

Comments

besondere=speziallösung

Answer 1

Ich weiß nicht genau was du mit Speziallösung meinst. Aber wenn man eine DG folgender Form hat:

\( x^´(t)=a(t)*x+b(t) \) so ist die allgemeine Lösung gegeben durch:

$$ x(t)= e^{A(t)}*(c+\int e^{-A(t)}b(t) dt) $$

wobei A(t) die Stammfunktion von a(t) ist. Bei dir wäre die Lösung also:

$$ x(t)= e^{\frac{5t^2}{2}}*(c+\int e^{-\frac{5t^2}{2}}*2tdt) $$

Comments

wenn ich das richtig verstehe ist dein Anfangswert x(0)=1?

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Die allgemeine Lösung ausintegriert:

\( e^{-5t/2}*(c+ \frac{-4}{25}*e^{-5t/2}*(5t+2)) \)

Wenn ich das mit dem Anfangswert richtig interpretiert habe:

x(0)=\( e^{-5*0/2}*(c+ \frac{-4}{25}*e^{-5*0/2}*(5*0+2)) = c + 2 = 1 \)

Somit ist c=-1.

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Wenn der Anfangswert \(x(t_0)=x_0\) vorgegeben ist, lautet die Lösung

$$ x(t)=\exp\left(\int_{t_0}^ta(s)\mathrm ds\right)x_0+\int_{t_0}^t\exp\left(\int_s^ta(\tau)\mathrm d\tau\right)b(s) s\,. $$

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Ja sollte eigentlich mit meiner Methode auch gehen, aber hab beim integrieren nen Fehler gemacht.

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Vermutlich entstand eine gewisse Verwirrung dadurch, dass deine Integrationsvariable \(t\) hieß.