es kann kein \(m\geq3\) geben, für das \(\varphi(m)\) ungerade ist!
Versuchen wir uns einmal an einer Begründung. Es ist \(\varphi(1)=1\) und \(\varphi(2)=1\). Sei nun \(m\geq 3\). Dann gibt es zwei Fälle:
1. Fall: \(m\) hat (mindestens) einen Primteiler \(p\neq 2\). Dann gilt: \((p-1)\mid \varphi(m)\). Da \(p\) ungerade ist, ist \(p-1\) gerade und daher \(2\mid (p-1)\mid \varphi(m)\) und \(\varphi(m)\) ist gerade.
2. Fall: \(m\) hat keine von \(2\) verschiedenen Primteiler. Dann ist \(2\) der einzige Primteiler, der in \(m\) auftaucht und \(m=2^k\) mit \(k\gt 1\). Dann gilt mit \(\varphi(2^k)=2^{k-1}\): \(\varphi(m)=2^k\cdot \left(1-\dfrac{1}{2}\right)=2^{k-1}\) mit \(k-1\gt 0\). Und deshalb ist auch hier \(\varphi(m)\) gerade.
Ich hoffe, dass Dir das hilft.
André
